Mediana y moda

Enunciado

Calcula la mediana y la moda de las siguientes variables:

1. $W_i: 0, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 4, 2$
2. $Z_i: 2,1,4,3,1,2,4,2,1,4$
3. $T_i: 2, 4, 3, a, 7, 6, 4$ (sabiendo que su media vale $4$)

Desarrollo

Mediana de $W_i$

Para calcular la mediana de $W_i$, el primer paso es ordenar los datos de menor a mayor.

$W_i: \overbrace{0, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 4, 2}^{\text{original}} \mapsto \overbrace{0,1,1,2,2,3,3,4,4 }^{\text{ordenado}}$

Y lo pongo en una tabla en la que veo qué posición tiene cada valor.

1.º	2.º	3.º	4.º	5.º	6.º	7.º	8.º	9.º
0	1	1	2	2	3	3	4	4

Puedo ver que hay 9 posiciones y que la posición del medio es la 5.ª. El valor de la posición 5.ª es 2.

Es decir, la mediana es 2.

También podría calcular el percentil 50 ($P_{50}$) con la fórmula:

$$P_{50} = \frac{50 \cdot {(9 + 1)}}{100} = 5$$

Es decir, el $P_{50}$ es la posición 5.ª, cuyo valor es 2. Por tanto, la mediana es 2.

Mediana de $Z_i$

Para calcular la mediana de $Z_i$, hago lo mismo:

$Z_i: \overbrace{2,1,4,3,1,2,4,2,1,4}^{\text{original}} \mapsto \overbrace{1,1,1,2,2,2,3,4,4,4 }^{\text{ordenado}}$

Y lo pongo en una tabla en la que veo qué posición tiene cada valor.

1.º	2.º	3.º	4.º	5.º	6.º	7.º	8.º	9.º	10.º
1	1	1	2	2	2	3	4	4	4

Puedo ver que hay 10 posiciones. Al ser un número par, no hay una posición del medio. Para calcularlo, tengo que hacer la media ($\bar{x}$) de los valores de las posiciones 5.ª y 6.ª, que son 2 y 2.

5.º	6.º
2	2

Después aplico la fórmula de la media:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

En este caso:

$$\bar{x} = \frac{2 + 2}{2} = 2$$

Es decir, la mediana es 2.

Moda de $W_i$

Para calcular la moda de $W_i$, el primer paso es calcular las frecuencias absolutas.

Valor ($W_i$)	Frecuencia absoluta ($n_i$)
0	1
1	2
2	2
3	2
4	2

Ahora me fijo en qué valor es el que aparece de forma más frecuente. Veo que es una moda multimodal, ya que múltiples valores se repiten con la misma frecuencia máxima.

Es decir, la moda de $W_i$ es multimodal, y son los valores 1, 2, 3 y 4.

Moda de $Z_i$

Para calcular la moda de $Z_i$, el primer paso es calcular las frecuencias absolutas:

Valor ($Z_i$)	Frecuencia absoluta ($n_i$)
1	3
2	3
3	1
4	3

Ahora me fijo en qué valor es el que aparece de forma más frecuente. Veo que es una moda trimodal, ya que tres valores se repiten con la misma frecuencia máxima.

Es decir, la moda de $Z_i$ es trimodal, y son los valores 1, 2 y 4.

Mediana de $T_i$

Antes de calcular la mediana, necesito despejar la incógnita $a$. Para ello, utilizo la fórmula de la media, ya que sé que es $\bar{x} = 4$.

$$4 = \frac{2 + 4+ 3+ a+ 7+ 6+ 4}{7} \implies 4 = \frac{a + 26}{7} \implies 7 \times 4 - 26 = a$$

Es decir, $a = 2$. Ahora conozco la serie entera y puedo proceder a ordenarla:

$T_i: \overbrace{2, 4, 3, 2, 7, 6, 4}^{\text{original}} \mapsto \overbrace{2,2,3,4,4,6,7}^{\text{ordenado}}$

Como son 7 valores, sé que la posición del medio es la 4.ª. El valor de la 4.ª posición es 4. Es decir, la mediana de $T_i$ es 4.

Moda de $T_i$

Viendo la lista $2,2,3,4,4,6,7$, se puede ver fácilmente que los números 2 y 4 aparecen 2 veces, y el resto solo una vez. Por lo tanto, la moda es bimodal, y los valores son 2 y 4.