Mediana y moda

Enunciado

Calcula la mediana y la moda de las siguientes variables:

1. $W_i: 0, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 4, 2$
2. $Z_i: 2,1,4,3,1,2,4,2,1,4$
3. $T_i: 2, 4, 3, a, 7, 6, 4$ (sabiendo que su media vale $4$)

Desarrollo

Mediana de $W_i$

Para calcular la mediana de $W_i$, el primer paso es ordenar los datos de menor a mayor.

$W_i: \overbrace{0, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 4, 2}^{\text{original}} \mapsto \overbrace{0,1,1,2,2,3,3,4,4 }^{\text{ordenado}}$

Y lo ponemos en una tabla, en la que vemos qué posición tiene cada valor.

1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º	8º	9º
0	1	1	2	2	3	3	4	4

Puedo ver que hay 9 posiciones, y que la posición del medio es 5. El valor de la posición 5 es 2.

Es decir, la mediana es 2.

También podríamos calcular el percentil 50 ($P_{50}$), con la fórmula:

$$P_{50} = \frac{50 \cdot {(9 + 1)}}{100} = 5$$

Es decir, que el $P_{50}$ es la posición 5º, cuyo valor es 2. Es decir, la mediana es 2.

Mediana de $Z_i$

Para calcular la mediana de $Z_i$, hacemos lo mismo:

$Z_i: \overbrace{2,1,4,3,1,2,4,2,1,4}^{\text{original}} \mapsto \overbrace{1,1,1,2,2,2,3,4,4,4 }^{\text{ordenado}}$

Y lo ponemos en una tabla, en la que vemos qué posición tiene cada valor.

1º	2º	3º	4º	5º	6º	7º	8º	9º	10º
1	1	1	2	2	2	3	4	4	4

Puedo ver que hay 10 posiciones. Al ser un número par, no hay posición del medio. Para ello, habría que hacer la media ($\bar{x}$) de los valores de la posición 5º y 6º, que son 2 y 2.

5º	6º
2	2

Después hacemos la fórmula de la media:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

En este caso:

$$\bar{x} = \frac{2 \times 2}{2} = 2$$

Es decir, la mediana es 2.

Moda de $W_i$

Para calcular la moda de $W_i$, el primer paso es calcular las frecuencias absolutas.

Valor ($W_i$)	Frecuencia absoluta ($n_i$)
0	1
1	2
2	2
3	2
4	2

Ahora, nos fijamos en qué valor es el que aparece de forma más frecuente. Vemos que es una moda multimodal, ya que los multiples valores son el que más se repite.

Es decir, la moda de $W_i$ es multimodal, y son los valores 1, 2, 3, y 4.

Moda de $Z_i$

Para calcular la moda de $Z_i$, el primer paso es calcular las frecuencias absolutas:

Valor ($Z_i$)	Frecuencia absoluta ($n_i$)
1	3
2	3
3	1
4	3

Ahora, nos fijamos en qué valor es el que aparece de forma más frecuente. Vemos que es una moda trimodal, ya que tres valores son el que más se repite.

Es decir, la moda de $Z_i$ es trimodal, y son los valores 1, 2 y 4.

Mediana de $T_i$

Antes de calcular la mediana, necesito despejar la incógnita $a$. Para ello, utilizo la fórmula de la media, ya que se que es $\bar{x} = 4$.

$$4 = \frac{2 + 4+ 3+ a+ 7+ 6+ 4}{7} \implies 4 = \frac{a + 26}{7} \implies 7 \times 4 - 26 = a$$

Es decir, $a = 2$. Ahora conocemos la serie entera, y puedo proceder a ordenarlo:

$T_i: \overbrace{2, 4, 3, 2, 7, 6, 4}^{\text{original}} \mapsto \overbrace{2,2,3,4,4,6,7}^{\text{ordenado}}$

Como son 9 valores, se que la posición del medio es la 4ª posición. El valor de la 4ª posición es 4. Es decir, que la mediana de $T_i$ es 4.

Moda de $T_i$

Viendo la lista $2,2,3,4,4,6,7$, se puede ver facilmente que el número 2 y el 4 aparecen 2 veces, y el resto sólo una vez. Por lo tanto, la moda es bimodal, y los valores son 2 y 4.