Variabilidad

Índices que reflejan la variabilidad

La variabilidad en los datos se mide con los Índices de dispersión, como la Varianza, la Desviación típica, o el Coeficiente de Variación de Pearson. Hay Otros índices descriptivos como la Amplitud que también reflejan la dispersión de los datos.

Enunciado

Hemos realizado un experimento de atención en el que se ha medido el tiempo de reacción (TR) en segundos y el número de aciertos de los participantes.

Los resultados para 6 participantes son los siguientes:

Participante	Tiempo de reacción (${TR}_i$)	Aciertos ($A_i$)
1	3	5
2	1	3
3	2	4
4	3	6
5	5	2
6	2	2

1. ¿Podríamos afirmar que el TR presenta más variabilidad que los Aciertos?
2. ¿Qué variable posee mayor amplitud?

Tenemos más datos, de otro estudio.

3. Data la siguiente variable $X_i: 0, 3, 1, a, 2$, si la varianza vale 20 y el coeficiente de variación centrado en la media vale 100, ¿cuánto valdría el valor a de la variable $X$?

4. Dada la siguiente variable $W_i: 0, 4, 2, 4, 2, 5, 2, 1, 3, 1, 3, 3$, calcular los valores de amplitud y el coeficiente de variación.

Desarrollo

1. ¿Podríamos afirmar que el TR presenta más variabilidad que los Aciertos?

Lo que está preguntando es cuánto es la varianza. La varianza es la medida estadística de dispersión que refleja la variabilidad de la distribución. Es el grado en el que los datos se distancian de la media, también llamado concentración.

La fórmula de la varianza ($s^2$ o $\sigma^2$) es:

$$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

Como puedo ver, para aplicar la fórmula necesito la media ($\bar{x}$) de cada uno. La calculo:

$${\bar{x}}_{TR} = \frac{3+1+2+3+5+2}{6} = 2.66$$ $${\bar{x}}_{A} = \frac{5+3+4+6+2+2}{6} = 3.66$$

Ahora puedo calcular la varianza de ambas, utilizando la fórmula que hemos visto al principio:

Varianza del Tiempo de reacción (${TR}_i$)

Primero aplicamos la fórmula:

$${s^2}_{TR} = \frac{(3 - 2.66)^2+(1 - 2.66)^2+(2 - 2.66)^2+(3 - 2.66)^2+(5 - 2.66)^2+(2 - 2.66)^2}{6 -1} = 1.8667$$

Como está al cuadrado ($s^2$), aplicamos la raíz cuadrada

$s_{TR} = \sqrt{1.8667} = 1,3662$

Varianza de Aciertos ($A_i$)

Primero aplicamos la fórmula:

$${s^2}_{A} = \frac{(5 - 3.66)^2+(3 - 3.66)^2+(4 - 3.66)^2+(6 - 3.66)^2+(2 - 3.66)^2+(2 - 3.66)^2}{6 -1} = 2.6667$$

Como está al cuadrado ($s^2$), aplicamos la raíz cuadrada

$s_{A} = \sqrt{1.8667} = 1.633$

Es decir, la varianza del tiempo de reacción ${s^2}_{TR}$ es 1,3662, mientras que la varianza de los aciertos ${s^2}_{A}$ es 1,633. Por lo tanto, no: la varianza de los aciertos ${s^2}_{A}$ es mayor que la varianza del tiempo de reacción ${s^2}_{TR}$.

Es decir: ${s^2}_{A} = 1,633 > {s^2}_{TR} = 1,3662$

2. ¿Qué variable posee mayor amplitud?

La amplitud ($A_i$) es la forma más simple de conocer la dispersión de los datos. En esencia, muestra cuántos posibles valores hay. Es la medida de dispersión que se define por la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de la distribución de valores ordenados.

Es decir: $A_i = {Valor\ \max}_i - {Valor\ \min}_i$

Primero, veamos los datos de cada variable, ordenados de mayor a menor:

Amplitud del Tiempo de reacción (${TR}_i$)

1º	2º	3º	4º	5º	6º
1	2	2	3	3	5

$${A}_{TR} = 6 - 2 = 4$$

Amplitud de Aciertos ($A_i$)

1º	2º	3º	4º	5º	6º
2	2	3	4	5	6

$${A}_{A} = 5 - 1 = 4$$

Por lo tanto, ambas variables tienen la misma amplitud de 4.

3. ¿Cuánto vale el valor a de la variable X_i?

Tenemos una serie de números que representan una variable $X_i: 0, 3, 1, a, 2$. El ejercicio nos pide determinar el valor desconocido $a$ en la serie numérica, sabiendo que la varianza es 20 y que el coeficiente de variación es del 100.

Lo que se es:

• La varianza ($s^2$ o $\sigma^2$) es 20. Es decir, que la dispersión de estos números respecto a su media es considerable.
• El coeficiente de variación ($CV$) es del 100.

Con esa información, se cuál es la desviación típica.

$s = \sqrt{s^2}$

Puesto que $s^2 = 20$, la desviación típica es:

$s = \sqrt{20} = 4,4721$

Con esa información, se cuál es la media.

$$CV = \frac{s_x}{\bar{x}} \times 100$$

Puesto que $CV = 100$ y $s = 4,4721$, puedo deducir la media:

$$100 = \frac{4,4721}{\bar{x}} \times 100 \implies 100 / 100 \times \bar{x} = 4,4721 \implies \bar{x} = 4,4721$$

Esto no debería ser sorprendente, porque un CV del 100% significa que la desviación estándar es igual a la media. Recuerda que el CV genera un valor que indica, precisamente, cuánto mayor o menor a la media es la desviación estándar. Si fuera menor que 100%, significa que la desviación estándar es menor que la media. Si fuera mayor al 100%, significa que la desviación estándar es mayor que la media. Siendo 100% significa que es exactamente igual que la media.

Ahora puedo aplicar la fórmula de la media para ($\bar{x}$) para extraer la incógnita:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$

En este caso:

$$4,4721 = \frac{0 + 3 + 1 + a + 2}{5} \implies 4,4721 \times 5 = 6 + a \implies a = 16,3605$$

Es decir, que el valor de a es 16,3605, y la serie completa es $X_i: 0, 3, 1, 16, 2$

4. Amplitud y variación de la variable W_i

Teniendo la variable $W_i: 0, 4, 2, 4, 2, 5, 2, 1, 3, 1, 3, 3$, calcular el valor de amplitud es sencillo. Basta con encontrar la diferencia entre el valor más alto y el más bajo.

$$A_w = 5 - 0 \implies A_w = 5$$

Es decir, que la amplitud es 5.

El coeficiente de variación ($CV$) es ligeramente más complicado. La fórmula es:

$$CV = \frac{s_x}{\bar{x}} \times 100$$

Es decir, que necesito averiguar la media ($\bar{x}$) y la desviación típica ($s_x$). Empezamos calculando la media:

$$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} = \frac{0 + 4 + 2 + 4 + 2 + 5 + 2 + 1 + 3 + 1 + 3 + 3}{12} = 2.5$$

Ahora que se que la media ($\bar{x}$) es 2.5, puedo ir a por la desviación típica ($s$).

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$

$s = \sqrt{\frac{(0-2.5)^2+(4-2.5)^2+(2-2.5)^2+(4-2.5)^2+(2-2.5)^2+(5-2.5)^2+(2-2.5)^2+(1-2.5)^2+(3-2.5)^2+(1-2.5)^2+(3-2.5)^2+(3-2.5)^2}{12-1}}$

$$s = \sqrt{\frac{23}{11}} = \sqrt{2.09} = 1.4457$$

Es decir, que la desviación típica ($s$) es 1.4457.

Sólo nos queda el coeficiente de variación:

$$\frac{s_x}{\bar{x}}\times100 \implies \frac{1.4457}{2.5}\times100 = 57.828$$

Es decir, que el coeficiente de variación ($CV$) es 57.828.