Ejercicios

Voy a resolver unos ejercicios utilizando el método de contraste mediante pruebas de significación.

Recuerda que el estadístico de contraste apropiado dependerá de si conozco, o no, la varianza poblacional ($\sigma$), como explica el siguiente gráfico:

A continuación, voy a resolver un ejercicio de cada.

Con puntuación Z

Contrasta si la media poblacional toma un valor de 25 con una varianza poblacional de 16 para una muestra de 100 sujetos que tiene una media de 24. Asumiendo un $\alpha=0.05$

En este ejercicio, se propone contrastar la hipótesis nula de que la media poblacional $\mu$ es igual a 25 frente a la hipótesis alternativa de que la media poblacional es diferente de 25, con una muestra de 100 sujetos y una varianza poblacional de 16. La media muestral obtenida es 24 y se utiliza un nivel de significancia $\alpha = 0.05$.

La hipótesis nula y la hipótesis alternativa se establecen como:

• $H_0: \mu = 25$
• $H_1: \mu \neq 25$

Con esto, ya se que tenemos que realizar un contraste bilateral, porque el valor puede estar por encima o por debajo de 25. Es decir, que el intervalo de confianza tendrá un límite inferior y un límite superior.

El primer paso es calcular el estadístico de contraste. En este caso, conocemos la varianza poblacional ($\sigma = 16$). Por lo tanto, utilizo la puntuación $Z$ como estadístico de contraste:

$$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} = \frac{24 - 25}{\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}} = \frac{-1}{4 / 10} = \frac{-1}{0.4} = -2.5$$

El siguiente paso es determinar los valores críticos que delimitan la zona de aceptación. Para ello, necesito el valor de $\alpha = 0.05$ (el nivel de significancia). Siendo así, la zona de aceptación es:

• Límite inferior: $Z_{\alpha/2} = Z_{0.05/2} = Z_{0.025}$
• Límite superior: $Z_{1-\alpha/2} = Z_{1-0.05/2} = Z_{0.975}$

Estos valores se pueden encontrar utilizando la tabla de la distribución normal estándar, en la que consulto la puntuación Z para las frecuencia acumuladas 0.025 y 0.975, que son:

• Límite inferior: $Z_{0.025} = -1.96$
• Límite superior: $Z_{0.975} = 1.96$

Finalmente, comparamos el valor del estadístico de contraste $Z = -2.5$, con los valores críticos. Vemos que $-2.5$ es menor que $-1.96$. Es decir, que cae en la zona crítica unilateral izquierda, lo que indica que deberíamos rechazar la hipótesis nula ($H_0$) en favor de la hipótesis alternativa ($H_1$). En otras palabras, hay evidencia suficiente al nivel del 5% para afirmar que la media poblacional no es 25.

Significancia $\alpha = 0.05$

Es muy frecuente en estadística utilizar un nivel de significancia $\alpha = 0.05$. Tanto es así, que es buena idea memorizar los valores $-1.96$ y $1.96$.

En esencia, $\alpha = 0.05$ implica que el 95% de la distribución se encuentra entre entre $-1.96$ y $1.96$. La puntuación $Z$ para un nivel de significancia de $0.025$ se encuentra en la cola izquierda de la distribución normal estándar y corresponde a un valor que deja a su izquierda el 2.5% del área bajo la curva. La puntuación $Z$ para un nivel de $0.975$ está en la cola derecha y deja a su izquierda el 97.5% del área bajo la curva.

Con T de Student

Contrasta si la media poblacional toma un valor menor de 25 con una varianza muestral de 16 para una muestra de 100 sujetos que tiene una media de 24. Asumiendo un $\alpha=0.05$

Queremos contrastar si la media poblacional $\mu$ es menor que 25 en una muestra de 100 sujetos con una varianza muestral de 16 y una media muestral de 24, asumiendo un nivel de significancia $\alpha = 0.05$.

Las hipótesis son:

• Hipótesis nula ($H_0$): $\mu \geq 25$
• Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu < 25$

Primero calculo el estadístico de contraste utilizando la fórmula para la distribución t de Student. Recuerda que no conocemos la varianza poblacional, sólo la muestral, por eso utilizo la T de Student y no la puntuación Z.

$$T = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{S_n}{\sqrt{n}}}$$

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:

$$T = \frac{24 - 25}{\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}}} = \frac{-1}{0.4} = -2.5$$

Después, determinamos los valores críticos. En este caso, se trata de un contraste unilateral. Concretamente, nos preguntan si la media poblacional toma un valor menor de 25., busco el valor crítico para la zona crítica unilateral izquierda, donde:

$$T \leq t_{\alpha, n-1}$$

Al consultar la tabla de la distribución t de Student, encontramos que para 99 grados de libertad y $\alpha = 0.05$, el valor crítico es aproximadamente -1.984 (el signo negativo indica la cola izquierda de la distribución).

$$T \geq t_{1-\alpha, n-1} = t_{0.95, 99} = -1.984$$

Finalmente, comparamos el estadístico de contraste con el valor crítico:

• Si $T \leq t_{\alpha, n-1}$, rechazamos la hipótesis nula.
• Si $T > t_{\alpha, n-1}$, no puedo rechazar la hipótesis nula.

En este caso, lapuesto que $T = -2.5$, es menor que -1.984, no rechazamos la hipótesis nula. Es decir, el contraste nos lleva a aceptar la hipótesis nula, lo que sugiere no hay suficiente evidencia para afirmar que la media poblacional es menor que 25.