Ejercicios

Recuerda que el método apropiado dependerá de si conozco, o no, la varianza poblacional ($\sigma$). Por eso, voy a realizar un ejercicio en cada uno de los casos.

Cuando sí se la varianza poblacional

Calcula el intervalo de confianza asociado a una media muestral de 26 que ha sido obtenida en una muestra de 100 sujetos, con una varianza poblacional de 16, asumiento un $\alpha = 0.05$.

¿Puede ser $23$ la media poblacional?

Nos está pidiendo el intervalo de confianza de la media ($\bar{X}$). Para ello, necesito sumar y restar un valor a la media.

Ese valor dependerá de si conocemos o no la varianza poblacional. En este caso, sí se que la vaianza poblacional es 16. Por lo tanto, aplicamos la fórmula correspondiente.

• $L_i = \bar{X} - |z_{\alpha/2}| \times \boxed{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$
• $L_s = \bar{X} + |z_{\alpha/2}| \times \boxed{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Donde:

• $\bar{X}$ es la media muestral, que es 25.
• $\boxed{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ es la fórmula del error estándar ($EE(\bar{X})$), donde:
  • $\sigma$ es la desviación estándar poblacional
  • $n$ es el tamaño de la muestra, que es 100.
• $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal Estándar
  • Al estar entre líneas $|z_{\alpha/2}|$ implica que es un valor absoluto. Es decir, aunque sea un valor negativo, debe tratarse como positivo.

Cuidado: la varianza no es la desviación típica $\sigma^2 \neq \sigma$

La fórmula $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ requiere la desviación estándar, no la varianza. Por ello, es importante hacer la raíz cuadrada:

$$EE(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{100}} = 0.4$$

Ahora que tenemos el error estándar, aplicamos la fórmula:

$$\textcolor{gray}{IC(1-\alpha) \text{ de } \bar{X} } = \boxed{m \pm z_{\alpha/2} \times \textcolor{gray}{EE(\bar{X})}}$$

Ya se que la media es $m=100$ y se que el error estándar es $EE(\bar{X})=0.4$. Nos queda la puntuación Z de la zona de rechazo.

Sabiendo que $\alpha = 0.05$, necesito la puntuación Z de 0.025 (es decir $\frac{0.05}{2}$). Pare ello, basta con buscar en la tabla de distribución normal estándar y encontrar la frecuencia acumulada para 0.025, que es $-1.96$. Y por tanto, su valor absoluto sería 1,9.

Y aplicamos la fórmula para encontrar los límites interior e inferior:

• $L_i = 25 - 1.96 \times 0.4 = 24.216$
• $L_s = 25 + 1.96 \times 0.4 = 25.784$

Por lo tanto, el intervalo de confianza al 95% para la media poblacional es (24.216, 25.784). Es decir, la media poblacional se encontraría con un 95% de probabilidad entre los valores 24,216 y 25,784.

Siendo así, no es posible que la media poblacional sea $23$ porque cae fuera del intervalo de confianza. Es decir, hay menos de un 5% de posibilidades de que la media sea 23.

Cuando no se la varianza poblacional

Calcula el intervalo de confianza asociado a una media muestral de 25 que ha sido obtenida en una muestra de 100 sujetos, con una varianza 👉 muestral 👈 de 16, asumiento un $\alpha = 0.01$.

¿Puede ser $23$ la media poblacional?

En este caso, no se la varianza poblacional; sólo la varianza poblacional. Por lo tanto, no puedo utilizar la puntuación-z. En lugar de eso, utilizo $t_{n-1, \alpha/2}$.

Pero antes calculemos el error estándar:

$$EE(\bar{X}) = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{30}} = 0.7303$$

Ahora, recordemos la fórmula del IC cuando no se la varianza poblacional:

$$IC(1-\alpha) \text{ de } \bar{X} = m \pm |t_{n-1,\space\space \alpha/2}| \times EE(M)$$

Ya se la media y el error estándar, por lo qué:

$$IC(1-\alpha) \text{ de } \bar{X} = 25 \pm |t_{n-1,\space\space \alpha/2}| \times 0.7303$$

Sin embargo, aún nos falta el valor $t_{n-1,\space\alpha/2}$. Se que:

• $n-1 = 30 - 1 = 29$
• $\alpha/2 = 0.01 / 2 = 0.005$

Por lo tanto, el valor $t$ que estoy buscando es el de $t_{\space29,\space 0.005}$ . Por eso, busco la tabla de distribución t de Student el valor en las coordenadas 29 y 0.005:

Conf. Level	50%	80%	90%	95%	98%	99%
One Tail	0.250	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005
Two Tail	0.500	0.200	0.100	0.050	0.020	0.010
gl (grados de libertad)
28	0.683	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763
29	0.683	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756
30	0.683	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750

Vemos que el valor es 2,750. Es decir: $t_{\space29,\space 0.005} = 2.756$. Por lo tanto, finalmente puedo aplicar la fórmula:

$$IC(1-\alpha) \text{ de } \bar{X} = 25 \pm 2.756 \times 0.7303$$

Y aplicamos la fórmula para encontrar los límites interior e inferior:

• $L_i = 25 - 2.756 \times 0.7303 = 22.9873$
• $L_s = 25 + 2.756 \times 0.7303 = 27.0127$

Por lo tanto, el intervalo de confianza al 99% para la media poblacional es (22.9873, 27.0127). Es decir, la media poblacional se encontraría con un 99% de probabilidad entre los valores 22.9873 y 27.0127.

Siendo así, sí es posible que la media poblacional sea $23$ porque cae dentro del intervalo de confianza.