Ejercicios

La forma de calcular la probabilidad de un suceso depende de varias cosas. Por ejemplo, depende de si voy a calcular una probabilidad de un suceso independiente, o si voy a calcular una puntuación de un suceso que depende de otro suceso. También es probable que, en lugar de calcular una probabiliad, quiera calcular una puntuación dada una probabilidad.

En todos ellos, será necesaria la fórmula de la puntuación Z ($Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$). También será necesario consultar la tabla de frecuencias para convertir el valor Z en la probabilidad (P), y viceversa.

Pero además, en los ejercicios de cálculo de probabilidad, es probable que utilice la expresión matemática de la relación entre sucesos.

Probabilidad de puntuación X

Calcula la puntuación típica de una persona que ha sacado una puntuación directa de 1 en una variable que se distribuye normalmente con valores $N(2;5)$. ¿Cómo de probable es obtener esa puntuación?

La puntuación directa obtenida es $X = 1$, la media de la distribución es $\mu = 2$ y la desviación estándar es $\sigma = 5$. La puntuación Z se calcula usando la fórmula:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Sustituyendo los valores dados:

$$Z = \frac{1 - 2}{5} = \frac{-1}{5} = -0.2$$

El valor de $-0.2$ indica que la puntuación obtenida está a 0.2 desviaciones estándar por debajo de la media de la distribución normal.

Respecto a la probabilidad, se que una puntuación Z de 0 corresponde exactamente al 50% de la probabilidad. Un valor de Z ligeramente negativo como $-0,2$ estaría por debajo del 50%, pero no significativamente.

Para saber exactamente cómo de probable es la puntuación, tenemos que mirar las tablas de distribución normal estándar. Si miramos el valor -02 de puntuación Z, vemos que el valor de probabilidad acumulada es 0.4207

Puntuación Z	Probabilidad acumulada
...	...
-0.2	0.4207 👈
...	...

Es decir, hay un 42.07% de probabilidad de obtener una puntuación de 1 o menos en una distribución normal con una media de 2 y una desviación estándar de 5.

Probabilidad de puntuación mayor que X

Calcula la probabilidad de obtener una puntuación directa mayor de 1,7 en una variable que se distribuye normalmente con valores $N(2;5)$.

Para calcular la probabilidad de obtener una puntuación directa mayor de $1.7$ en una distribución normal con media $\mu = 2$ y desviación estándar $\sigma = 5$, seguimos estos pasos:

Primero, calculo la puntuación Z de obtener el valor 1,7:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{1.7 - 2}{5} = -0.06$$

Es decir, que la puntuación Z del valor 1,7 es $-0.06$.

Pero no quiero esa probabilidad, sino la probabilidad de que sea lo opuesto. Dado que quiero la probabilidad de obtener un valor mayor que $1.7$.

Por eso, calculo el complemento de la probabilidad.

Recuerda: relación entre sucesos

La relación entre sucesos puede describirse de varias maneras, y una de ellas es la relación complementaria ($\bar{A}$), cuando un suceso se realiza sólo si el otro no se ha verificado.

Es decir, que la suma de la probabilidad de ambos sucesos es 1, porque si no sucede uno, sucede el otro seguro. Por eso, la representación es:

$$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$$

Ahora reemplazamos los valores:

$$P_{X > 1.7} = 1 - P_{Z \leq -0.06}$$

donde:

• $P_{X > 1.7}$ representa la probabilidad de que el valor sea mayor que 1,7. Esta es la incógnita que quiero despejar.
• $P_{Z \leq -0.06}$ representa la probabilidad de que la puntuación Z sea 0,06.

Antes de resolver esa ecuación, tenemos que buscar el valor $-0.06$ en la tabla de distribución normal, y vemos que para una puntuación Z de 0,06, la probabilidad acumulada es 0.4761.

Finalmente, resolvemos la ecuación:

$$P_{X > 1.7} = 1 - 0.4761 = 0.5239$$

Por lo tanto la probabilidad de que el valor sea mayor de $1,7$ es del 52,39%.

Probabilidad de puntuación entre X_i y X_j

Calcula la probabilidad de obtener una puntuación directa entre 5,2 y 0 en una variable que se distribuye normalmente con valores $N(2;5)$.

Primero, calculo las puntuaciones Z de obtener los valores 5,2 y 0. Es decir, tenemos que calculas $Z_i$ y $Z_j$, utilizando la fórmula de la puntuación Z.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

Por lo tanto, $Z_i = \frac{5.2 - 2}{5} = 0.64$, mientras que $Z_j = \frac{0 - 2}{5} = -0.4$

Después, busco en la tabla de distribución normal las probabilidades de ambos.

$$Z_i = 0.64 \implies P_i = 0.7389$$ $$Z_j = 0.4 \implies P_j = 0.3446$$

Sin embargo, no nos están pidiendo la probabilidad de esos valores, sino la probabilidad de una puntuación entre esos valores. Dicho de otra manera, nos están pidiendo la probabilidad de un intervalo. Para un intervalo dado $(a, b)$, la probabilidad de que la variable $X$ caiga dentro de este intervalo es la diferencia entre las probabilidades acumuladas en los puntos $b$ y $a$:

$$P(a < X < b) = P(X ≤ b) - P(X ≤ a)$$

En este caso:

$$P(0 < X < 5.2) = P(Z \leq 0.64) - P(Z \leq -0.4)$$

Es decir:

$$P(0 < X < 5.2) = 0.7389 - 0.3446 = 0.3943$$

Por lo tanto, la probabilidad de que una puntuación sea entre 5,2 y 0 es del 39,43%.

Puntuación X dada una probabilidad

calcular el valor de una puntuación directa que tiene asociada una probabilidad menor de 0.95 en una distribución normal con valores $N(2;5)$

Para calcular el valor de la puntuación directa asociada con una probabilidad acumulada menor de $0.95$ en una distribución normal $N(2; 5)$, primero tenemos que encontrar la puntuación Z en la tabla de distribuciones.

$$P = 0.95 \implies Z = 1.64$$

Como vemos en la tabla, el valor de $Z_{0.95}$ es de $1.64$.

Después, utilizo la fórmula de la puntuación Z:

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$

En este caso, conocemos los siguientes valores:

$$1,64 = \frac{X - 2}{5}$$

Finalmente, despejamos la incógnita:

$$X = 1.64 \cdot 5 + 2 = 10.2$$

Por lo tanto, el valor de la puntuación directa que tiene asociada una probabilidad acumulada menor de $0.95$ es $10.2$.