Fórmulas para ejercicios

Calcula la fiabilidad...

...utilizando supuestos y deducciones

Calcula la varianza a partir de la fiabilidad

1º supuesto de la TCT

$$X_i = V_i + E_i$$

Donde:

• $X_i$ (puntuación observada): es el valor que obtenemos directamente al aplicar el test a un individuo.
• $V_i$ (puntuación verdadera): representa el valor real o "verdad" que mediría el test en condiciones ideales, sin errores de medición.
• $E_i$ (error de medida): agrupa todas las influencias no deseadas que afectan a la puntuación observada, provocando que esta difiera de la puntuación verdadera.

3ª deducción de la TCT

$$\sigma^2_X = \sigma^2_V + \sigma^2_E$$

Donde:

• $\sigma^2_X$: Varianza total de la puntuación observada.
• $\sigma^2_V$: Varianza de la puntuación verdadera.
• $\sigma^2_E$: Varianza del error de medida.

4ª deducción de la TCT

$$\sigma_{X V} = \sigma^2_V$$

Donde:

• $\sigma_{X;V}$: Covarianza entre la puntuación observada y la puntuación verdadera.
• $\sigma^2_V$: Varianza de la puntuación verdadera.

Coeficiente de fiabilidad

Calcula la fiabilidad a partir de varianza

$$\rho^2_{XV} = \frac{\sigma^2_V}{\sigma^2_X}$$

donde:

• $\rho^2_{XV}$: Coeficiente de fiabilidad, que representa la proporción de la varianza total de la puntuación observada explicada por la puntuación verdadera.
• $\sigma^2_V$: Varianza de la puntuación verdadera.
• $\sigma^2_X$: Varianza total de la puntuación observada.

Índice de fiabilidad

Calcula la fiabilidad a partir de desviación típica

$$\rho_{XV} = \frac{\sigma_V}{\sigma_X}$$

Donde:

• $\rho_{XV}$: Índice de fiabilidad, que refleja la correlación entre la puntuación observada y la puntuación verdadera.
• $\sigma_V$: Desviación típica de la puntuación verdadera.
• $\sigma_X$: Desviación típica de la puntuación observada.

Anti-fiabilidad

$$\text{Anti-fiabilidad} = \rho^2_{XE} = \frac{\sigma^2_E}{\sigma^2_X}$$

donde:

• $\rho^2_{XE}$: Anti-fiabilidad, que representa la proporción de la varianza total de la puntuación observada debida al error de medida.
• $\sigma^2_E$: Varianza del error de medida.
• $\sigma^2_X$: Varianza total de la puntuación observada.

...al modificar cantidad de ítems

Fórmula de Spearman Brown

Calcula la fiabilidad al eliminar un ítem

Cuántos ítems se necesitan para alcanzar cierta fiabilidad

Cuántos ítems hay que añadir para que el error típico sea x

$$\rho_k = \frac{k \cdot \rho_{XX^{\prime}}}{1 + (k - 1) \cdot \rho_{XX^{\prime}}}$$

donde:

• $k$ es el factor por el cual se multiplica la longitud del test original,
• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la correlación entre ambas mitades,
• $\rho_k$ es la fiabilidad.

En el caso del cálculo de la consistencia interna mediante división en dos mitades, calculo el coeficiente $\rho_k$ dándo por hecho que $k = 2$. El motivo es que el test tiene el doble de items de los que tiene cada mitad.

$$\rho_{k=2} = \frac{k \cdot \rho_{XX^{\prime}}}{1 + (k - 1) \cdot \rho_{XX^{\prime}}}$$

También se puede utilizar aislando $k$ en la fórmula de Spearman Brown:

$$k = \frac{\rho_k (1 - \rho_{XX^{\prime}})}{\rho_{XX^{\prime}} (1 - \rho_k)}$$ $$n' = k \cdot n \implies k = \frac{n'}{n}$$

donde:

• $n'$ es el número de ítems en el test modificado o ampliado.
• $n$ es el número de ítems en el test original.
• $k$ es el factor multiplicativo que indica el aumento en la longitud del test.

Consecuencias de modificar la fiabilidad...

...en la media

$$\bar{X}_kX = k \cdot \bar{X}_X$$

Donde:

• $\bar{X}_kX$ es la media de la puntuación en el test modificado.
• $\bar{X}_X$ es la media de la puntuación en el test original.
• $k$ es el factor multiplicativo que indica el aumento en la longitud del test.

...en la varianza de X

$$\sigma^2_{kX} = k \cdot \sigma^2_X + (k^2 - k) \cdot \rho_{xx} \cdot \sigma^2_X$$

donde:

• $\sigma^2_{kX}$ es la varianza de la puntuación en el test modificado.
• $\sigma^2_X$ es la varianza de la puntuación en el test original.
• $\rho_{xx}$ es la fiabilidad del test original.

...en la varianza de V

$$\sigma^2_{kV} = k^2 \cdot \sigma^2_V$$

donde:

• $\sigma^2_{kV}$ es la varianza de la puntuación verdadera en el test modificado.
• $\sigma^2_V$ es la varianza de la puntuación verdadera en el test original.

...en la varianza de E

$$\sigma^2_{kE} = k \cdot \sigma^2_E$$

donde:

• $\sigma^2_{kE}$ es la varianza del error de medida en el test modificado.
• $\sigma^2_E$ es la varianza del error de medida en el test original.

...con correción por restricción de rango

Calcula la fiabilidad si no hubiera restricción de rango

Esta fórmula ajusta la fiabilidad para compensar esa reducción en la varianza.

$$\rho_{kk^{\prime}} = 1 - \frac{\sigma^2_j}{\sigma^2_k} \cdot (1 - \rho_{jj^{\prime}})$$

donde:

• $\rho_{kk^{\prime}}$ es la fiabilidad del test transformado o ajustado (test $k$).
• $\sigma^2_k$ es la varianza del test $k$ (el test en su nueva forma).
• $\sigma^2_j$ es la varianza de la puntuación observada en el test original ($j$).
• $\rho_{jj^{\prime}}$ es la fiabilidad del test origina

...al dividir un test en dos mitades

Correlación (fiabilidad) entre medidas paralelas

$$\rho_{XX'} = \rho^2_{XV} = \frac{\sigma^2_V}{\sigma^2_X}$$

donde:

• $\rho_{XX^{\prime}}$: Correlación entre dos mitades paralelas.
• $\rho^2_{XV}$: Coeficiente de fiabilidad.
• $\sigma^2_V$: Varianza de la puntuación verdadera.
• $\sigma^2_X$: Varianza total de la puntuación observada.

Error típico de medida

$$\sigma_E = \sigma_X \sqrt{1 - \rho_{XX'}}$$

donde:

• $\sigma_E$ es el error estándar.
• $\sigma_X$ es la desviación típica de las puntuaciones observadas.
• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la fiabilidad del test, calculada como la correlación entre medidas paralelas.

...con dos medidas independientes

División en dos mitades paralelas

Para la división A y B, si la correlación entre las dos mitades es de 0,557, ¿cuánto valdría la fiabilidad de la prueba asumiendo que ambas partes son paralelas?

$$\rho_2 = \frac{2 \cdot \rho_{XX'}}{1 + (2 - 1) \cdot \rho_{XX'}} = \frac{2 \cdot \rho_{XX'}}{1 + \rho_{XX'}}$$

donde:

• $\rho_2$ es la fiabilidad del test dividido en dos mitades paralelas.
• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la correlación entre las dos mitades.

División en dos mitades equivalentes

$$\rho_{XX'} = 2 \cdot (1 - \frac{\sigma^2_{X_1} + \sigma^2_{X_2}}{\sigma^2_X})$$

donde:

• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la correlación entre las dos mitades equivalentes.
• $\sigma^2_{X_1}$ y $\sigma^2_{X_2}$ son las varianzas de las dos mitades.
• $\sigma^2_X$ es la varianza total de la puntuación observada.

Calcula la covarianza...

Calcula la consistencia interna del test a partir de las respuestas. Las covarianzas están al final de la tabla.

Calcula la consistencia interna a partir de la matriz de varianzas-covarianzas. La diagnonal principal muestra la varianza cada ítem. $\sigma^2_X$ es la suma de todas.

...utilizando Alfa de Cronbach

$$\alpha = \frac{n}{n-1} \left( 1 - \frac{\sum_{j=1}^n \sigma^2_j}{\sigma^2_X} \right)$$

donde:

• $n$ es la cantidad total de ítems en el test
• $j$ representa cada uno de los ítems

...utilizando KR20

$$KR_{20} = \frac{n}{n-1} \left( 1 - \frac{\sum_{j=1}^n (p_j \cdot q_j)}{\sigma^2_X} \right)$$

donde:

• $n$ es la cantidad total de ítems en el test
• $p_j$ es la proporción de aciertos en el ítem $j$
• $q_j$ es la proporción de errores en el ítem $j$
• $\sigma^2_X$ es la varianza total de la puntuación del test

...utilizando Omega

$$\omega = \frac{\textcolor{royalblue}{\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \right)^2}}{\textcolor{goldenrod}{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2} + \textcolor{green}{\sum_{i=1}^{n} (1 - \textcolor{goldenrod}{\lambda_i^2})}}$$

donde:

• $\omega$ es el coeficiente Omega, otra medida de fiabilidad del test
• $\lambda_i$ es la carga factorial del ítem $i$
• $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i$: Es la suma de los pesos factoriales de todos los ítems. Este valor indica la contribución conjunta de todos los ítems al constructo medido.
• $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2$: Es la suma de los cuadrados de los pesos factoriales de todos los ítems. Este valor representa la varianza explicada por cada ítem de manera individual y se suma para todos los ítems.
• $\sum_{i=1}^{n} (1 - \lambda_i^2)$: Representa la varianza del error de cada ítem. Se calcula restando la varianza explicada por el peso factorial ($\lambda_i^2$) de 1, para obtener la parte de la varianza atribuible al error.

...utilizando Beta de Revelle

$$\beta = \frac{\sigma^2_X - \sum_{j=1}^{p} \sigma^2_j}{\sigma^2_X \left(1 - \sum_{j=1}^{p} k_j^2 \right)}$$

donde:

• $\beta$ es el coeficiente relacionado con la batería de pruebas
• $\sigma^2_X$ es la varianza total de la puntuación del test
• $\sigma^2_j$ es la varianza de la puntuación de cada ítem $(i_1, i_2... j)$
• $k_j$ es un parámetro asociado al ítem $j$.

$$k = \frac{n_j}{N}$$

Donde:

• $n_j$ es la cantidad de elementos en el subconjunto $j$.
• $N$ es la cantidad total de elementos en el conjunto.

Indicador de Cambio fiable (IFC)

ICF de Jacobson y Truax

Speer (intervalo de confianza)

Calcula la...

...puntuación directa con corrección

Calcula la puntuación directa y la puntuación directa corregida

La puntuación se obtiene sumando todos los aciertos para cada sujeto. La corregida requiere una fórmula:

$$X_c = A - \frac{E}{k-1}$$

donde:

• $X_c$: Puntuación corregida.
• $A$: Puntuación observada.
• $E$: Error de estimación.
• $k$: Número de ítems.

...proporción de aciertos corregida

$$p_c = p - \frac{p_e}{k-1}$$

donde:

• $p_c$: Proporción de aciertos corregida.
• $p$: Proporción de aciertos observada.
• $p_e$: Proporción de errores.
• $k$: Número de ítems.

Estima la puntuación verdadera...

$$V^{\prime}_s = \rho_{XX^{\prime}} \cdot X_s + (1 - \rho_{XX^{\prime}}) \cdot \mu_x$$

donde:

• $\rho_{XX^{\prime}}$: Coeficiente de fiabilidad del test.
• $X_s$: Puntuación observada del sujeto. El subíndice $s$ indica que se trata de una puntuación específica correspondiente al sujeto $s$.
• $\mu_x$: Media de las puntuaciones observadas en la población.

...por intervalos

$$\text{IC}_{V} = X \pm |Z_{\alpha/2}| \cdot EEM$$

• Límite inferior: $X - |Z_{\alpha/2}| \cdot EEM$
• Límite superior: $X + |Z_{\alpha/2}| \cdot EEM$

donde:

• $\text{IC}_{V}$: Intervalo de Confianza.
• $X$: Puntuación observada del sujeto.
• $Z_{\alpha/2}$: Valor crítico correspondiente al nivel de confianza deseado.
  • $Z_{\alpha/2} = 1.96$: para un nivel de confianza del 95%.
  • $Z_{\alpha/2} = 2.58$: para un nivel de confianza del 99%.
• $EEM$: Error estándar de medición.

$$EEM = s_X \cdot \sqrt{1 - \rho_{XX^{\prime}}}$$

donde:

• $s_X$: Desviación estándar de las puntuaciones observadas.
• $\rho_{XX^{\prime}}$: Fiabilidad del test.

Análisis de la diferencia de puntuaciones

Medidas dependientes (mismo sujeto)

$$z = \frac{\bar{x}_{X_1} - \bar{x}_{X_2}}{\sigma_X \cdot \sqrt{2 - \rho_{X_1X_2} - \rho_{hh^{\prime}}}}$$

donde:

• $\bar{x}_{X_1} - \bar{x}_{X_2}$: Diferencia observada entre las puntuaciones.
• $\sigma_X$: Desviación estándar de las puntuaciones observadas.
• $\rho_{X_1X_2}$: Correlación entre las medidas del mismo test en diferentes momentos (fiabilidad test-retest).
• $\rho_{hh^{\prime}}$: Correlación entre las subescalas o partes del test (consistencia interna).

Medidas independientes

Índice de fiabilidad (IF)

En los ítems no-dicotómicos, la fórmula es:

$$IF_i = s_i \times r_{iX}$$

donde:

• $r_{iX}$ es la correlación entre el ítem y la puntuación observada ($X$) total del test
• $s_i$ es la desviación estándar del ítem $i$

En los ítems dicotómicos, la fórmula es es un poco más compleja:

$$IF_i = \sqrt{p_i \times q_i \times r_{iX}}$$

donde:

• $p_i$ es la proporción de aciertos
• $q_i$ es la proporción de errores
• $r_{iX}$ es la correlación entre el ítem y la puntuación total del test

Análisis de la dificultad

Items dicotómicos

Ítems no-dicotómicos

Análisis de la discriminación

De un ítem

Entre ítems