Ejercicios

Discriminación de un ítem a partir de las respuestas

Enunciado

En un test de 3 ítems, se obtuvieron las siguientes respuestas dadas por 7 sujetos:

Sujeto	Ítem 1	Ítem 2	Ítem 3	Total
1	1	1	1	3
2	0	1	1	2
3	1	0	1	2
4	1	0	1	2
5	1	1	0	2
6	1			1
7	1	1		2

Calcula la discriminación de un ítem a partir de las respuestas.

Ítems sin respuesta

En la tabla hay ítems sin respuesta. Éstos se pueden tratar de dos maneras:

• Excluirlos del análisis: solo considero los sujetos que han respondido al ítem.
• Tratar las no respuestas como fallos: asumo que los sujetos que no respondieron fallaron el ítem ($0$).

Solución

La discriminación de cada ítem se calcula mediante su varianza, usando la fórmula:

$$\sigma^2_i = p_i \cdot q_i$$

donde:

• $p_i$: Proporción de sujetos que acertaron el ítem.
• $q_i$: Proporción de sujetos que fallaron el ítem ($q_i = 1 - p_i$).

El primer paso es calcular $p_i$ y $q_i$.

Sin embargo, en la tabla hay ítems sin respuesta. Voy a optar por considerar solo los sujetos que han respondido a cada ítem. Siendo así:

Ítem 1

• Total respuestas: 7 (todos los sujetos respondieron).
• Respuestas correctas: 6.
• $p_1 = \frac{6}{7} \approx 0.8571$
• $q_1 = 1 - p_1 = 0.1429$

Ítem 2

• Total respuestas: 5 (dos sujetos no respondieron).
• Respuestas correctas: 3.
• $p_2 = \frac{3}{5} = 0.6$
• $q_2 = 1 - p_2 = 0.4$

Ítem 3

• Total respuestas: 4 (tres sujetos no respondieron).
• Respuestas correctas: 3.
• $p_3 = \frac{3}{4} = 0.75$
• $q_3 = 1 - p_3 = 0.25$

Después, calculo $\sigma^2_i$ para cada ítem:

Ítem 1

$$\sigma^2_1 = p_1 \cdot q_1 = 0.8571 \cdot 0.1429 \approx 0.1225$$

Ítem 2

$$\sigma^2_2 = p_2 \cdot q_2 = 0.6 \cdot 0.4 = 0.24$$

Ítem 3

$$\sigma^2_3 = p_3 \cdot q_3 = 0.75 \cdot 0.25 = 0.1875$$

Conclusión

La discriminación de los ítems, según su varianza, es:

• Ítem 1: $\sigma^2_1 = 0.1225$
• Ítem 2: $\sigma^2_2 = 0.24$
• Ítem 3: $\sigma^2_3 = 0.1875$

Por lo tanto:

• El ítem que más discrimina: Ítem 2, con una varianza de 0.24, lo que indica que se acerca más a la máxima discriminación posible (0.25).
• El ítem que menos discrimina: Ítem 1, con una varianza de 0.1225, que está más alejada de 0.25.

Si considerase las no respuestas como fallos

Si considerase las no-respuestas como fallos, la tabla de respuestas sería:

Sujeto	Ítem 1	Ítem 2	Ítem 3	Total
1	1	1	1	3
2	0	1	1	2
3	1	0	1	2
4	1	0	1	2
5	1	1	0	2
6	1	0	0	1
7	1	1	0	2

En este caso, la varianza de los ítems sería:

• Ítem 1: $\sigma^2_1 = p_1 \cdot q_1 = 0.8571 \cdot 0.1429 \approx 0.1224$
• Ítem 2: $\sigma^2_2 = p_2 \cdot q_2 = 0.4286 \cdot 0.5714 \approx 0.2449$
• Ítem 3: $\sigma^2_3 = p_3 \cdot q_3 = 0.4286 \cdot 0.5714 \approx 0.2449$

Siendo así, los ítems 2 y 3 serían los que más discriminan, con una varianza de 0.2449 cada uno.

Discriminación entre ítems

Enunciado

Calcula el índice de discriminación del siguiente ítem basándose en la proporción de aciertos de los grupos superior (S) e inferior (I)

Sujetos	Grupo	Respuesta
1	S	1
2	S	0
3	I	0
4	I	0
5	S	1
6	I	1
7	I	0
8	I	0

Solución

El enunciado solicita calcular la discriminación entre ítems, por lo que sé que debo utilizar bien la proporción de aciertos o índices de correlación. Además, el ejercicio divide a los sujetos en dos grupos, que es precisamente el enfoque de análisis de grupos extremos.

Para calcular el índice de discriminación, debo contar las respuestas correctas en cada grupo:

En el grupo superior (S):

• Sujetos: 1, 2, 5.
• Respuestas correctas: Sujetos 1 y 5 (2 correctas).
• Total de sujetos: 3.

$$p_s = \frac{\text{Correctas en S}}{\text{Total de sujetos en S}} = \frac{2}{3} = 0.6667$$

En el grupo inferior (I):

• Sujetos: 3, 4, 6, 7, 8.
• Respuestas correctas: Sujeto 6 (1 correcta).
• Total de sujetos: 5.

$$p_i = \frac{\text{Correctas en I}}{\text{Total de sujetos en I}} = \frac{1}{5} = 0.2$$

Ahora puedo calcular $D_i$ utilizzando la fórmula del índice de discriminación. La fórmula es:

$$D_i = p_s - p_i$$

Sustituyendo los valores:

$$D_i = 0.6667 - 0.2 = 0.4667$$

El valor 0.4667 indica una discriminación satisfactoria, ya que $D_i \geq 0.40$. Por lo tanto, el ítem tiene buena capacidad para distinguir entre sujetos con altos y bajos niveles del atributo medido. Esto sugiere que el ítem contribuye positivamente a la eficacia general del test y no requiere revisión ni eliminación.

¿De un ítem o entre ítems?

Parece haber una confusión terminológica respecto a lo que significa discriminación entre ítems frente a discriminación de un ítem. El cálculo basado en el índice $D_i$ corresponde a la discriminación de un ítem (la capacidad de un único ítem para distinguir entre grupos superiores e inferiores), pero el título y el contexto lo presentan como discriminación entre ítems.

Correlación biserial-puntual

Enunciado

¿Cuál es el índice de discriminación según la correlación biserial-puntual de un ítem dicotómico de un test cuantitativo cuya media es de 9 y desviación típica (D.T.) de 2? Si la media de los sujetos que aciertan el ítem en el test es de 10, y la dificultad del ítem es de 0,59.

Solución

La fórmula de la correlación biserial-puntual es:

$$r_{bp} = \boxed{\frac{\overline{X}_A - \overline{X}}{S_x} \cdot \sqrt{\frac{p}{q}}} = \boxed{\frac{\overline{X}_A - \overline{X}_E}{S_x} \cdot \sqrt{p \cdot q}}$$

Será más sencillo utilizar una u otra versión en función de los datos que proporciona el enunciado. Especificamente, dependiendo de si el enunciado porporciona $\overline{X}_E$.

El enunciado proporciona los siguientes datos:

• $\overline{X} = 9$ (media total del test)
• $S_x = 2$ (desviación típica del test)
• $\overline{X}_A = 10$ (media de los sujetos que aciertan)
• $p = 0.59$ (dificultad del ítem, es decir; proporción de aciertos).

Con el valor de $p = 0.59$, puedo calcular el valor de $q$ (proporción de errores):

$$q = 1 - p = 0.41$$

Puesto que no tengo $\overline{X}_E$, utilizo la siguiente expresión de la fórmula de $r_{bp}$:

$$r_{bp} = \frac{\overline{X}_A - \overline{X}}{S_x} \cdot \sqrt{\frac{p}{q}}$$

Puedo sustituir los valores conocidos:

$$r_{bp} = \frac{10 - 9}{2} \cdot \sqrt{\frac{0.59}{0.41}} = 0.5998$$

Es decir, la correlación biserial-puntual ($r_{bp}$) es aproximadamente 0.60. Un valor de $r_{bp} = 0.60$ indica una capacidad de discriminación satisfactoria para el ítem, sugiriendo que discrimina bien entre individuos con puntuaciones altas y bajas en el test.

Correlación biserial

Enunciado

¿Cuál es el índice de discriminación ($r_b$) de un ítem dicotómico de un test cuantitativo, si sabemos que $r_{bp} = 0.60$, la proporción de aciertos al ítem fue de $p = 0.50$, y $y = 0.3989$?

Solución

El enunciado proporciona los siguientes datos:

• Correlación biserial-puntual: $r_{bp} = 0.60$
• Proporción de aciertos: $p = 0.50$
• Proporción de errores: $q = 1 - p = 0.50$
• Densidad de la normal estándar: $y = 0.3989$

La fórmula de la correlación biserial se puede expresar de dos maneras:

$$r_b = \boxed{\frac{\overline{X}_A - \overline{X}}{S_x} \cdot \frac{p}{y}} = \boxed{\frac{\overline{X}_A - \overline{X}_E}{S_x} \cdot \frac{p \cdot q}{y}}$$

Sin embargo, no parece que necesite eso. Puesto que el enunciado proporciona $r_{bp}$, lo que necesito es la fórmula que relaciona la correlación biserial-puntual ($r_{bp}$) con la correlación biserial ($r_b$):

$$r_{bp} = r_b \cdot \frac{y}{\sqrt{p \cdot (1-p)}}$$

Ahora tengo que aislar $r_b$.

$$r_{bp} = r_b \cdot \frac{y}{\sqrt{p \cdot (1-p)}} \implies r_b = r_{bp} \cdot \frac{\sqrt{p \cdot (1-p)}}{y}$$

Sustituyendo los valores:

$$r_b = 0.60 \cdot \frac{\sqrt{0.50 \cdot (1-0.50)}}{0.3989} = 0.7521$$

Por lo tanto, el índice de discriminación ($r_b$) es aproximadamente 0.75. Un valor de $r_b = 0.75$ indica que el ítem tiene una alta capacidad de discriminación, separando de manera efectiva a los individuos con puntuaciones altas y bajas en el test.

Discriminación interna y externa

Enunciado

En la siguiente tabla aparecen los resultados obtenidos por 4 sujetos en 3 ítems dicotómicos que miden inteligencia y en un examen de Matemáticas (criterio). Calcular la discriminación interna de la prueba y la discriminación externa.

Sujeto	Ítem 1	Ítem 2	Ítem 3	Matemáticas
1	1	1	1	9
2	1	0	1	6
3	0	0	0	3
4	1	0	0	4
				$S_x^2 = 5.25$

Solución

El enunciado está diciendo que 4 sujetos han cumplimentado dos tests:

• Un test de inteligencia de 3 ítems, que son dicotómicos (acierta o falla).
• Un examen de matemáticas, que es el criterio, y es una variable cuantitativa.

El enunciado pregunta concretamente por dos tipos de discriminación entre ítems:

• La capacidad de discriminación interna, que se refiere a la correlación entre los ítems del test. Por lo tanto, debo calcular la correlación entre los ítems del test de inteligencia. Como son dicotómicos, utilizo la fórmula de $phi$.
• La capacidad de discriminación externa se refiere a la correlación entre el ítem y el constructo. En este caso, estoy comparando una variable dicotómica con una cuantitativa. Siendo así, utilizo el índice de correlación biserial ($r_b$) o biserial-puntual ($r_{bp}$).

	Cuantitativa	Ordinal	Dicotómica	Dicotomizada
Cuantitativa	Pearson (r)		Biserial o biserial puntual ( rbp )
Ordinal		Spearman ( rs )	Biserial por rangos
Dicotómica	Biserial o biserial puntual ( rbp )	Biserial por rangos	Phi (φ)
Dicotomizada				Tetracórica ( rs )

Sin embargo, antes de proceder a calcular las correlaciones, voy a necesitar varios datos:

• Media de los sujetos que aciertan el ítem ($\overline{X}_{A_i}$):
  • Ítem 1: $\overline{X}_{A1} = \frac{3}{4} = 0.75$
  • Ítem 2: $\overline{X}_{A1} = \frac{1}{4} = 0.25$
  • Ítem 3: $\overline{X}_{A1} = \frac{2}{4} = 0.50$
• Dificultad del ítem, es decir; proporción de aciertos ($p_i$):
  • Ítem 1: $p_1 = \frac{3}{4} = 0.75$
  • Ítem 2: $p_2 = \frac{1}{4} = 0.25$
  • Ítem 3: $p_3 = \frac{2}{4} = 0.50$

Discriminación interna

Dado que los ítems son dicotómicos, debo utilizar el coeficiente de correlación Phi ($\Phi$). La fórmula de la correlación de Phi es:

$$\phi = \frac{n \cdot \sum{X_i \cdot Y_i} - \sum{X_i} \cdot \sum{Y_i}}{\sqrt{(n \cdot \sum{X_i^2} - (\sum{X_i})^2) \cdot (n \cdot \sum{Y_i^2} - (\sum{Y_i})^2)}}$$

Discriminación externa

Para calcular la discriminación externa, debo utilizar el coeficiente de correlación biserial o biserial puntual. Dado que el enunciado no especifica cuál de los dos utilizar, puedo optar por cualquiera de ellos.

La fórmula de la correlación biserial-puntual es:

$$r_{bp} = \frac{\overline{X}_A - \overline{X}}{S_x} \cdot \sqrt{\frac{p}{q}} = \frac{\overline{X}_A - \overline{X}_E}{S_x} \cdot \sqrt{p \cdot q}$$

Sustituyendo los valores en la fórmula:

$$r_{bp} = \frac{\overline{X}_A - \overline{X}}{S_x} \cdot \sqrt{\frac{p}{q}} = \frac{\overline{X}_A - \overline{X}_E}{S_x} \cdot \sqrt{p \cdot q}$$

Discriminación entre ítems dicotómicos

Enunciado

En la siguiente tabla aparecen los resultados obtenidos por 70 sujetos en un ítem dicotómico que mide inteligencia y en un examen de Matemáticas (criterio). Calcular la discriminación externa del ítem.

Criterio	Ítem: Acierto	Ítem: Error	Total
Suspenso	10	20	30
Aprobado	30	10	40
Total	40	30	70

Solución

En este caso, la discriminación externa se calcula utilizando el coeficiente $\Phi$, ya que estoy analizando la relación entre dos variables dicotómicas: el ítem (acierto/error) y el criterio (suspenso/aprobado).

La fórmula del coeficiente $\Phi$ es:

$$\Phi = \frac{b \cdot c - a \cdot d}{\sqrt{(a+b) \cdot (c+d) \cdot (a+c) \cdot (b+d)}}$$

Sustituyendo los valores de la tabla:

$$\Phi = \frac{20 \cdot 30 - 10 \cdot 10}{\sqrt{(10+20) \cdot (30+10) \cdot (10+30) \cdot (20+10)}} = 0.4167$$

El valor de $\Phi$ oscila entre $-1$ y $1$, por lo que 0.4167 está situado cerca del extremo positivo. Esto indica que hay una moderada relación positiva entre el criterio (suspenso/aprobado) y las respuestas al ítem (acierto/error). Esto sugiere que el ítem discrimina razonablemente bien entre los sujetos que tienen mayor o menor rendimiento en matemáticas.