Ejercicios

Medidas independientes

Solapamiento entre intervalos de confianza

Aplicamos un test a dos personas y obtienen un 20 y 24 en cada uno de ellos. ¿Hay diferencias significativas entre ambas puntuaciones? La media en el test es 30 (D.T. = 5) y la fiabilidad es 0,90. α = 0,05

En este ejercicio, aplico un test a dos sujetos diferentes, obteniendo puntuaciones de 20 y 24 respectivamente. El ejercicio me pide analizar si la diferencia entre ambas puntuaciones es estadísticamente significativa.

Para ello, puedo crear intervalos de confianza de ambas puntuaciones y analizar si hay solapamiento entre las puntuaciones. La fórmula general para los intervalos de confianza es:

$$\text{IC}_V = X \pm |Z_{\alpha/2}| \cdot EEM$$

Los datos proporcionados son:

• Puntuaciones observadas:
  • Primer sujeto: $X_{s_1} = 20$
  • Segundo sujeto: $X_{s_2} = 24$
• Media poblacional del test: $\mu = 30$
• Desviación estándar del test: $s = 5$
• Fiabilidad del test: $\rho_{XX^{\prime}} = 0.90$
• Nivel de significancia: $\alpha = 0.05$

Si fuera a formular el enunciado en términos de hipótesis, sería que:

• $H_0$: $\bar{X_{s_1}} = \bar{X_{s_2}}$
• $H_0$: $\bar{X_{s_1}} \neq \bar{X_{s_2}}$

Para hacer la comprobación, voy a calcular el intervalo de confianza ($IC$). La fórmula del intervalo de confianza es: $X_{s_i} \pm |Z_{\alpha/2}| \cdot EEM$. Desafortunadamente, el enunciado no proporciona el $EEM$.

Puesto que me falta el error estándar de medición (EEM), primero lo calculo. La fórmula del error estándar de medición es:

$$EEM = s \cdot \sqrt{1 - \rho_{XX^{\prime}}}$$

Sustituyendo los valores:

$$EEM = 5 \cdot \sqrt{1 - 0.90} = 1.58$$

Por lo tanto, el error estándar de medición (EEM) es 1.58.

Ahora sí, calculo los intervalos de confianza para cada sujeto. La fórmula general para los intervalos de confianza es:

$$\text{IC}_V = X \pm |Z_{\alpha/2}| \cdot EEM$$

Con $\alpha = 0.05$ y un nivel de confianza del 95%, el valor crítico de $Z_{\alpha/2}$ es:

$$Z_{\alpha/2} = 1.96$$

Sustituyendo los valores, calculo los intervalos de confianza para cada sujeto.

• Primer sujeto ($X_{s_1} = 20$):
  • Límite inferior: $20 - 1.96 \cdot 1.58 = 20 - 3.10 = 16.90$
  • Límite superior: $20 + 1.96 \cdot 1.58 = 20 + 3.10 = 23.10$
• Segundo sujeto ($X_{s_2} = 24$):
  • Límite inferior: $24 - 1.96 \cdot 1.58 = 24 - 3.10 = 20.90$
  • Límite superior: $24 + 1.96 \cdot 1.58 = 24 + 3.10 = 27.10$

Por lo tanto, los intervalos de confianza de ambos sujetos son:

$$\text{IC}_{V_1} = [16.90, 23.10]$$ $$\text{IC}_{V_2} = [20.90, 27.10]$$

Observo que sí hay solapamiento entre los intervalos, ya que el rango $[20.90, 23.10]$ es común a ambos. Por lo tanto, la diferencia entre las puntuaciones no es estadísticamente significativa.

Por lo tanto, con un nivel de confianza del 95%, concluyo que no hay diferencias significativas entre las puntuaciones de los dos sujetos. Esto se debe a que los intervalos de confianza se solapan, indicando que las diferencias observadas pueden deberse al error de medición.

Puntuación Z y zona crítica

Una persona ha obtenido en un test una puntuación de 10 y otra persona ha obtenido un 11, cuya fiabilidad de la prueba es 0,90 y varianza 2. $\alpha = 0,05$. Comprobar si hay diferencias estadísticamente significativas entre ambas puntuaciones.

El enunciado pregunta si la diferencia entre las puntuaciones medias de dos tests aplicados a dos sujetos es significativa. Para ello, calculo la puntuación $z$ y observo si cae dentro de la zona crítica.

• $\bar{x}_{X_1} = 10$
• $\bar{x}_{X_2} = 11$
• $\sigma_X^2 = 2$.
• $\rho_{XX^{\prime}} = 0.90$.
• Nivel de significancia: $\alpha = 0.05$ (contraste bilateral).

El ejercicio dice que el nivel de significancia $\alpha = 0.05$ y que es un contraste bilateral. Por lo tanto, conozco la zona crítica:

$$z_{\alpha/2} = z_{0.5/2} = z_{0.025} \approx 1.96$$

Es decir, la puntuación $z$ debe estar fuera del rango $[-1.96, 1.96]$ para considerare que la diferencia es significativa. Esta es la zona crítica.

Ahora puedo calcular la puntuación $z$ para las puntuaciones dadas. La fórmula de la puntuación $z$ es:

$$z = \frac{\bar{x}_{X_1} - \bar{x}_{X_2}}{\sigma_X \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - \rho_{XX'}}}$$

Tengo todos los datos, salvo por la desviación estándar, que la calculo como la raíz cuadrada de la varianza: $\sigma_X = \sqrt{2} = 1.4142$.

$$z = \frac{10 - 11}{1.4142 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - 0.90}} = -1.5812$$

La puntuación $z$ resultante -1.5812 está dentro del rango crítico $[-1.96, 1.96]$, por lo tanto no puedo rechazar la hipótesis nula y concluyo que no hay diferencias significativas.

Medidas dependientes

Una persona ha hecho el mismo test dos veces. Primero ha obtenido una puntuación de 15 y después una puntación de 18. La desviación estándar de la prueba es 4. La fiabilidad de la prueba es de 0,85, tanto al comparar las respuestas de una misma administración del test como al comparar ambas administraciones. $\alpha = 0,05$. Comprobar si hay diferencias estadísticamente significativas entre ambas puntuaciones.

Para comprobar si hay diferencias significativas, utilizo la fórmula de la puntuación típica ($z$):

$$z = \frac{X_J - X_H}{\sigma_X \sqrt{2 - \rho_{jj^{\prime}} - \rho_{hh^{\prime}}}}$$

Ahora, sustituyo los valores en la fórmula:

$$z = \frac{18 - 15}{4 \cdot \sqrt{2 - 0.85 - 0.85}} = 1.3693$$

Ahora puedo determinar si el valor entra dentro de la zona crítica. Para un nivel de significancia $\alpha = 0,05$ (contraste bilateral), los valores críticos de la distribución normal estándar son:

$$z_{\alpha/2} = z_{0,025} \approx 1,96$$

La zona crítica es:

$$z \leq -1,96 \quad \text{o} \quad z \geq 1,96$$

El valor obtenido es $z \approx 1,37$, que se encuentra dentro de la zona crítica:

$$-1,96 < 1,37 < 1,96$$

Dado que el valor $z$ calculado cae dentro de la zona crítica, no podemos rechazar la hipótesis nula ($H_0$). Es decir: no hay evidencia suficiente para concluir que la diferencia entre las puntuaciones del test en ambas administraciones sea estadísticamente significativa al nivel de significancia $\alpha = 0,05$.