Ejercicios

Estimación puntual de V

¿Cuál sería la estimación de $V$ si la media de la puntuación en un test es 16, su fiabilidad es de 0,90 y la puntuación observada es de 6? ¿Y su error de estimación?

Estimación de V

Para resolver este ejercicio, utilizo la estimación puntual de la puntuación verdadera ($V$) mediante la fórmula de regresión lineal de Kelly, que es:

$$V'_s = \rho_{XX'}X_s + (1 - \rho_{XX'}) \cdot \mu_x$$

El enunciado proporciona los siguientes datos:

• Media de la puntuación en el test ($\mu_x$) = 16
• Fiabilidad ($\rho_{XX^{\prime}}$) = 0,90
• Puntuación observada ($X_s$) = 6

Sustituyendo los valores en la fórmula de Kelly:

$$V'_s = 0,90 \times 6 + (1 - 0,90) \times 16 = 7$$

Por lo tanto, la estimación de $V$ es 7.

Error de estimación

Por otro lado, el error típico de estimación de la puntuación verdadera se puede calcular como la diferencia entre la puntuación observada ($X$) y la estimación de la puntuación verdadera ($V'_s$):

$$\text{Error de estimación} = X - V'_s$$

Sustituyendo los valores conocidos:

$$\text{Error de estimación} = 6 - 7 = -1$$

Así, el error de estimación es -1. Este valor negativo indica que la puntuación observada es ligeramente menor que la estimación de la puntuación verdadera.

Estimación por intervalos de V

Calcular en qué IC se encontrará una puntuación V de una persona que ha obtenido en un test una puntuación de 10, cuya fiabilidad de la prueba es 0,90 y varianza 2. α = 0,05

El ejercicio me pide calcular el intervalo de confianza (IC) en el que se encontrará la puntuación verdadera ($V$) de una persona que obtuvo una puntuación observada ($X$) de 10 en un test. Sé que la fiabilidad del test ($\rho_{XX^{\prime}}$) es de 0,90, la varianza ($\sigma_X^2$) es 2 y $\alpha = 0,05$.

Primero, calculo el error estándar de medición ($EEM$) usando la fórmula:

$$EEM = s_X \cdot \sqrt{1 - \rho_{XX^{\prime}}}$$

Donde:

• $s_X$ es la desviación estándar de las puntuaciones observadas, que se obtiene como la raíz cuadrada de la varianza: $s_X = \sqrt{s_X^2}$.
• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la fiabilidad del test.

Sustituyo los valores:

$$EEM = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 - 0.90} = 0.447$$

Por lo tanto, el error estándar de medición es 0.447.

Ahora necesito el valor crítico ($Z_{\alpha/2}$). Dado que $\alpha = 0.05$, el nivel de confianza es del 95%, y el valor crítico correspondiente es:

$$Z_{0.05/2} = 1.96$$

Finalmente, sustituyo los valores en la fórmula general para el intervalo de confianza es:

$$\text{IC}_{V} = 10 \pm 1.96 \cdot 0.447$$

• El límite inferior es $10 - 1.96 \cdot 0.447 = 9.1239$
• El límite superior es $10 + 1.96 \cdot 0.447 = 10.8761$

Por lo tanto, el intervalo de confianza para la puntuación verdadera ($V$) es:

$$\text{IC}_{V} = [9.124, 10.876]$$

Esto significa que, con un nivel de confianza del 95%, la puntuación verdadera de esta persona se encuentra entre 9.124 y 10.876.