Deducciones

A partir de los cinco supuestos de la TCT, puedo deducir relaciones interesantes.

1. μ_Xi = μ_Vi

Basado en el 1º supuesto $X_i = V_i + E_i$, sé que la puntuación observada ($X_i$) es igual a la puntuación verdadera ($V_i$) más un error ($E_i$). Esto también es aplicable a las medias ($\mu$) de estas puntuaciones, donde:

$$\bar{X_i} = \bar{V_i} + \bar{E_i}$$

Gracias al 2º supuesto, sé que la media del error es cero ($\bar{E_i} = 0$). Entonces:

$$\bar{X_i} = \bar{V_i} + 0$$

Por lo tanto, deduzco que la media de las puntuaciones observadas $X$ es igual a la media de las puntuaciones verdaderas $V$:

$$\bar{X_i} = \bar{V_i}$$

Para indicar que estas medias hacen referencia a la población y no a una muestra específica, se utiliza la notación griega. De este modo:

$$\mu_{X_i} = \mu_{V_i}$$

2. E(E_i | V_i) = 0

Esta deducción afirma que la esperanza (o valor esperado) del error para una subpoblación con la misma puntuación verdadera ($V_i$) es igual a cero.

$$E(E_i | V_i) = 0$$

Esta relación es una expansión del 2º supuesto, que establece que el error promedio en la población es cero ($E(E_i) = 0$). Aquí se aplica este supuesto a una subpoblación en la que todos los individuos tienen la misma puntuación verdadera $V_i$. La deducción implica que, incluso dentro de una subpoblación con una puntuación verdadera específica, el error promedio se mantiene en cero, es decir, el error sigue siendo aleatorio y no está sesgado en relación con la puntuación verdadera.

En otras palabras, incluso cuando agrupo a los individuos según una puntuación verdadera común, el promedio de los errores no cambia y sigue siendo cero, reflejando que el error de medida no está influenciado por el nivel del atributo medido (en este caso, $V_i$).

3. σ²_X = σ²_V + σ²_E

Basado en el 1º supuesto ($X_i = V_i + E_i$), sé que la puntuación observada ($X_i$) es igual a la puntuación verdadera ($V_i$) más un error ($E_i$). Esto también se aplica a las varianzas ($\sigma^2$) de estas puntuaciones, donde la varianza de la puntuación observada es la suma de la varianza de la puntuación verdadera y la varianza del error:

$$X_i = V_i + E_i \implies \sigma^2_X = \sigma^2_V + \sigma^2_E$$

En estadística, si dos variables no son independientes, la varianza de su suma incluiría un término adicional que refleja la covarianza entre ambas variables, expresada como $2 \sigma_{VE}$, donde $\sigma_{VE}$ es la covarianza entre $V$ y $E$:

$$\sigma^2_X = \sigma^2_V + \sigma^2_E + 2\sigma_{VE}$$

Sin embargo, el 3º supuesto de la TCT establece que no hay correlación ($\rho_{V_i E_i} = 0$) entre la puntuación verdadera y el error, lo que implica que su covarianza es cero ($\sigma_{VE} = 0$):

$$\sigma^2_X = \sigma^2_V + \sigma^2_E + \boxed{2\sigma_{VE} = 0}$$

Por lo tanto, en la TCT, la relación entre las varianzas se reduce a:

$$\sigma^2_X = \sigma^2_V + \sigma^2_E$$

Esta deducción dice que la varianza total de las puntuaciones observadas se descompone en la varianza de las puntuaciones verdaderas y la varianza del error. Esto es fundamental en la TCT, ya que permite analizar cuánto de la variabilidad en las puntuaciones observadas se debe a la puntuación verdadera y cuánto al error de medida.

4. ρ_XY = σ²_V

Esta deducción establece que la covarianza entre la puntuación observada ($X$) y la puntuación verdadera ($V$) es igual a la varianza de la puntuación verdadera ($\sigma^2_V$):

$$\sigma_{X V} = \sigma^2_V$$

Para entender por qué esto es cierto, me fijo en el 1º supuesto de la TCT, que dice que la puntuación observada es la suma de la puntuación verdadera y el error:

$$X = V + E$$

Dado este modelo, puedo calcular la covarianza entre $X$ y $V$ de la siguiente manera:

1. Descomposición de la covarianza: la covarianza entre $X$ y $V$ se puede expresar en términos de las componentes de $X$:

   $$\sigma_{X V} = \sigma_{(V + E) V} = \sigma_{V V} + \sigma_{E V}$$

2. Aplicación del 3º supuesto: según el 3º supuesto de la TCT, no hay correlación entre la puntuación verdadera y el error ($\rho_{V E} = 0$), lo que implica que su covarianza también es cero ($\sigma_{E V} = 0$):

   $$\sigma_{X V} = \sigma_{V V} + 0$$

3. Varianza de $V$: la covarianza de una variable consigo misma es simplemente su varianza ($\sigma_{V V} = \sigma^2_V$), por lo que finalmente obtengo:

   $$\sigma_{X V} = \sigma^2_V$$

Esta deducción muestra que, en la TCT, la covarianza entre la puntuación observada y la puntuación verdadera es igual a la varianza de la puntuación verdadera. Esto ocurre porque el error de medida no está relacionado con la puntuación verdadera, de modo que no influye en la variación conjunta entre $X$ y $V$.

Fórmula de covarianza

Recuerda que la covarianza entre dos variables $X$ y $Y$ mide cómo varían juntas respecto a sus medias. Se calcula así:

$$S_{XY} = \frac{\sum[ (X_i - \overline{x})(Y_i - \overline{y})]}{n}$$

Donde:

• $S_{XY}$ es la covarianza de $X$ y $Y$.
• $n$ es el número de puntos de datos (muestras).
• $X_i$ y $Y_i$ son los puntos de muestra individuales.
• $\overline{x}$ y $\overline{y}$ son las medias muestrales de $X$ y $Y$, respectivamente.

La fórmula calcula el producto promedio de las desviaciones de cada par de valores respecto a sus respectivas medias.

5. ρ²_XV representa la fiabilidad

La fiabilidad de un test mide cuánto de la variabilidad en las puntuaciones observadas ($X$) es explicada por la puntuación verdadera ($V$).

En la TCT, esta fiabilidad se puede expresar a través de dos indicadores: el coeficiente de fiabilidad y el índice de fiabilidad:

• Coeficiente de fiabilidad ($\rho^2_{XV}$): refleja fiabilidad o precisión. Este es el término estándar en TCT para indicar cuán bien mide la prueba el constructo de interés, ya que representa la proporción de la varianza en $X$ explicada por $V$.
• Índice de fiabilidad ($\rho_{XV}$): refleja la correlación entre $X$ y $V$, mostrando el grado de relación, pero no mide la precisión o fiabilidad de forma directa.

¿Por qué se usa la palabra "fiabilidad" en ambos?

La terminología puede parecer redundante, pero tiene su razón:

2. Coeficiente de fiabilidad: este término refleja la medida de fiabilidad real y se refiere a la proporción de varianza explicada (o precisión).
3. Índice de fiabilidad: la palabra “fiabilidad” aquí solo indica que hablo de la relación entre $X$ y $V$, sin especificar proporción de varianza.

La razón de usar fiabilidad en ambos que ambos miden el vínculo entre $X$ y $V$. Sin embargo, solo el coeficiente de fiabilidad representa la fiabilidad real en el contexto de TCT.

Es cierto que es un tanto confuso, y muchos autores prefieren simplemente decir correlación para $\rho_{XV}$ y fiabilidad o precisión para $\rho^2_{XV}$ para reducir ambigüedades.

Término	Notación	Relación con $X$ y $V$	Interpretación
Correlación	$\rho_{XV}$	Relación o índice entre $X$ y $V$	Indica el grado de relación entre $X$ y $V$
Proporción	$\rho^2_{XV}$	Varianza explicada (proporción de $V$ sobre $X$)	Mide cuánta varianza de $X$ es atribuible a $V$
Precisión	$\rho^2_{XV}$	Coincide con el coeficiente de fiabilidad	Cuán bien el test mide $V$ sin error
Fiabilidad	$\rho^2_{XV}$	Coeficiente de fiabilidad entre $X$ y $V$	Se refiere al grado de consistencia o precisión de la medida del test

Coeficiente de fiabilidad (ρ²_XV)

El coeficiente de fiabilidad ($\rho^2_{XV}$) es la proporción de la varianza de la puntuación observada ($\sigma^2_X$) que es explicada por la varianza en la puntuación verdadera ($\sigma^2_V$).

$\rho^2_{XV}$ refleja la medida de fiabilidad real y se refiere a la proporción de varianza explicada o precisión.

Este coeficiente se calcula como el cuadrado de $\rho_{XV}$, o también como la relación entre $\sigma^2_V$ y $\sigma^2_X$:

$$\rho^2_{XV} = \frac{\sigma^2_V}{\sigma^2_X}$$

Este coeficiente toma valores entre 0 y 1, donde:

• $\rho^2_{XV} = 1$: la puntuación verdadera explica perfectamente la variabilidad en la puntuación observada, indicando fiabilidad perfecta.
• $\rho^2_{XV} = 0$: la puntuación verdadera no explica nada de la variabilidad en la puntuación observada, indicando ausencia de fiabilidad.

Cuanto mayor sea $\rho^2_{XV}$, mayor será la fiabilidad del test, ya que una mayor proporción de la varianza en $X$ es atribuible a la puntuación verdadera $V$.

Índice de fiabilidad (ρ_XV)

El índice de fiabilidad es la correlación entre la puntuación observada y la puntuación verdadera, representado como $\rho_{XV}$. Esta correlación indica en qué medida $X$ y $V$ varían conjuntamente.

Sin embargo, la palabra fiabilidad aquí solo indica que hablo de la relación entre $X$ y $V$, sin especificar proporción de varianza.

Matemáticamente, se expresa como la relación entre la desviación estándar de $V$ y la desviación estándar de $X$:

$$\rho_{XV} = \frac{\sigma_V}{\sigma_X}$$

Un valor alto de $\rho_{XV}$ sugiere una relación fuerte entre $X$ y $V$, es decir, una alta fiabilidad.

Recuerda

• $\sigma$: desviación estándar.
• $\sigma^2$: varianza.

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza:

$$\text{Desviación estándar} = \sqrt{\text{Varianza}}$$

6. ρ²_XE representa la anti-fiabilidad

Esta deducción es opuesta o complementaria a la 5ª deducción. Permite calcular el grado de error en la medición al observar la correlación entre la puntuación observada ($X$) y el error ($E$).

Esta correlación refleja qué proporción de la varianza en $X$ está explicada por el error de medida, y se considera una medida de anti-fiabilidad.

$$\text{Anti-fiabilidad} = \rho^2_{XE} = \frac{\sigma^2_E}{\sigma^2_X}$$

El valor de $\rho^2_{XE}$ varía entre 0 y 1, donde:

• $\rho^2_{XE} = 1$: el error ($E$) explica completamente la puntuación observada ($X$), lo que indica una fiabilidad nula.
• $\rho^2_{XE} = 0$: el error ($E$) no explica nada de la puntuación observada ($X$), indicando una fiabilidad perfecta.

En este caso, cuanto mayor sea el valor de $\rho^2_{XE}$, menor será la fiabilidad de la prueba, ya que el error de medida explica una mayor proporción de la varianza de $X$.

7. ρ²_XV + ρ²_XE = 0

Esta deducción expresa matemáticamente que la fiabilidad y la anti-fiabilidad son complementarias. La suma de la varianza de la puntuación observada explicada por la puntuación verdadera ($\rho^2_{XV}$) y la varianza explicada por el error ($\rho^2_{XE}$) constituye toda la varianza en la puntuación observada:

$$\rho^2_{XV} + \rho^2_{XE} = 1$$

Es decir, la varianza en la puntuación observada ($X$) explicada por el error y la varianza explicada por la puntuación verdadera abarcan conjuntamente el 100% de la varianza en $X$. Esto confirma que la fiabilidad y anti-fiabilidad se excluyen mutuamente, y juntas representan la totalidad de la variabilidad en las puntuaciones observadas.

Aunque no siempre se incluye como deducción en la TCT, es perfectamente válido considerarla como tal, ya que muestra la complementariedad de la fiabilidad y la anti-fiabilidad.