Ejercicios

La correlación entre la puntuación observada de una persona y la puntuación verdadera es de 0,80

¿Cuál es la precisión de la prueba?

La precisión de la prueba se mide mediante el coeficiente de fiabilidad ($\rho^2_{XV}$), que representa la proporción de varianza en la puntuación observada ($X$) explicada por la puntuación verdadera ($V$).

Sin embargo, en lugar de dar el coeficiente de fiabilidad. Dicho de otra manera, da el índice de fiabilidad ($\rho_{XV}$).

El enunciado da la correlación entre $X$ y $V$ ($\rho_{XV}$) es de $0.80$.

Dado que la correlación entre $X$ y $V$ es $\rho_{XV} = 0.80$, el coeficiente de fiabilidad se calcula elevando este valor al cuadrado:

$$\rho^2_{XV} = (0.80)^2 = 0.64$$

Por lo tanto, la precisión de la prueba es 0.64, lo que indica que el 64% de la varianza en la puntuación observada $X$ es explicada por la puntuación verdadera $V$.

¿Cuánto explica el error los resultados obtenidos?

Dado que el coeficiente de fiabilidad ($\rho^2_{XV}$) es 0.64, esto significa que el error explica el restante 36% de la varianza en $X$.

De acuerdo con la relación entre fiabilidad y anti-fiabilidad, la suma de ambas debe ser igual a 1:

$$\rho^2_{XV} + \rho^2_{XE} = 1$$

Así, si $\rho^2_{XV} = 0.64$, entonces:

$$\rho^2_{XE} = 1 - 0.64 = 0.36$$

Esto implica que el error explica el 36% de la varianza en los resultados obtenidos.

Calcular la fiabilidad de una prueba sabiendo que...

La varianza de los errores es del 20% de la varianza verdadera.

El enunciado está diciendo que $\sigma^2_E$ es un 20% de $\sigma^2_V$.

Es decir: el enunciado da una forma de calcular uno en proporción al otro.

$$\sigma^2_E = 0.20 \; \sigma^2_V$$

Ahora, puedo utilizar la 3ª deducción y reemplazar una de las incognitas:

$$\sigma^2_X = \sigma^2_V + \boxed{\boxed{\sigma^2_E} \to \boxed{0.20 \; \sigma^2_V}}$$

Es decir:

$$\sigma^2_X = \sigma^2_V + 0.20 \; \sigma^2_V$$

Para simplificar, sumo las varianzas $\sigma^2_V$ y $0.20 \; \sigma^2_V$. Es decir:

$$\sigma^2_X = 1.20 \; \sigma^2_V$$

Con esto, puedo utilizar la 5º deducción ($\rho^2_{XV} = \sigma^2_V \div \sigma^2_X$) y reemplazar $\sigma^2_X$:

$$\rho^2_{XV} = \frac{\sigma^2_V}{\boxed{\boxed{\sigma^2_X} \to \boxed{1.20 \; \sigma^2_V}}} = \frac{\cancel{\sigma^2_V}}{1.20 \; \cancel{\sigma^2_V}} = \frac{1}{1.20} = 0.83$$

Por lo tanto, la fiabilidad ($\rho^2_{XV}$) de la prueba es $0.83$.

La desviación estándar de la puntuación verdadera es el 20% de la desviación estándar de los errores.

El enunciado dice que $\sigma_V$ es un $20\%$ de $\sigma_V$. Expresado de forma matemática:

$$\sigma_V = 0.20 \; \sigma_E$$

Ahora, puedo utilizar la 3ª deducción y reemplazar $\sigma_V$:

$$\sigma^2_X = \boxed{\sigma^2_V} + \sigma^2_E$$

Sin embargo, primero tengo que convertir $\sigma_V$ en $\sigma^2_V$. Para ello, lo elevo al cuadrado:

$$\sigma_V = 0.20 \; \sigma_E \implies \sigma^2_V = 0.20^2 \times \sigma^2_E$$

Es decir:

$$\sigma^2_V = 0.04 \; \sigma^2_E$$

Y ahora sí:

$$\sigma^2_X = \boxed{\boxed{\sigma^2_V} \to \boxed{0.04 \; \sigma^2_E}} + \sigma^2_E$$

Es decir:

$$\sigma^2_X = 0.04 \; \sigma^2_E + \sigma^2_E$$

Para simplificar, sumo las varianzas $0.04 \, \sigma^2_E$ y $\sigma^2_E$. Es decir:

$$\sigma^2_X = 1.04 \; \sigma^2_E$$

Con esto, puedo utilizar la 6ª deducción. El coeficiente de anti-fiabilidad $\rho^2_{XE}$ es la proporción de la varianza total explicada por el error:

$$\rho^2_{XE} = \frac{\sigma^2_E}{\sigma^2_X}$$

Así que puedo reemplazar $\sigma^2_X$:

$$\rho^2_{XE} = \frac{\sigma^2_E}{\boxed{\boxed{\sigma^2_X} \to \boxed{1.04 \ \; \sigma^2_E}}} = \frac{\sigma^2_E}{1.04 \ \; \sigma^2_E} = \frac{1 \times \cancel{\sigma^2_E}}{1.04 \times \cancel{\sigma^2_E}} = \frac{1}{1.04} = 0.96$$

Es decir, que la variación causada por el error ($\rho^2_{XE}$) es $0.96$. Sin embargo, esto no es la fiabilidad, sino lo contrario. Lo que necesito es $\rho^2_{XV}$. Por lo tanto, utilizo la 7ª deducción. Dado que la fiabilidad es el complemento de la anti-fiabilidad:

$$\rho^2_{XV} + \rho^2_{XE} = 1 \implies \rho^2_{XV} = 1 - \rho^2_{XE} = 1 - 0.96 = 0.04$$

La fiabilidad de la prueba, representada por $\rho^2_{XV}$, es $0.04$. Esto significa que la fiabilidad es muy baja, ya que solo el 4% de la varianza en $X$ es explicada por la puntuación verdadera $V$.

La varianza empírica es 3 veces mayor que la varianza error.

La varianza empírica se refiere a la puntuación observada, es decir: $X$.

El enunciado indica que la varianza total de las puntuaciones observadas ($\sigma^2_X$) es 3 veces mayor que la varianza del error ($\sigma^2_E$). Expresado matemáticamente:

$$\sigma^2_X = 3 \; \sigma^2_E$$

Con esta relación, puedo utilizar la 6ª deducción para calcular la anti-fiabilidad ($\rho^2_{XE}$), que representa la proporción de la varianza en $X$ explicada por el error $E$:

$$\rho^2_{XE} = \frac{\sigma^2_E}{\sigma^2_X}$$

Sustituyendo $\sigma^2_X = 3 \; \sigma^2_E$:

$$\rho^2_{XE} = \frac{\sigma^2_E}{3 \; \sigma^2_E} = \frac{1 \times \cancel{\sigma^2_E}}{3 \times \cancel{\sigma^2_E}} = \frac{1}{3} = 0.33$$

Esto significa que la variación causada por el error ($\rho^2_{XE}$) es 0.33.

Sin embargo, la fiabilidad de la prueba, $\rho^2_{XV}$, es el complemento de la anti-fiabilidad. Por eso, utilizo la 7ª deducción, que establece que la suma de la fiabilidad y la anti-fiabilidad es igual a 1:

$$\rho^2_{XV} + \rho^2_{XE} = 1$$

Por lo tanto:

$$\rho^2_{XV} = 1 - \rho^2_{XE} = 1 - 0.33 = 0.66$$

La fiabilidad representada por $\rho^2_{XV}$ es 0.66, lo que significa que la fiabilidad es moderadamente alta. Esto indica que el 66% de la varianza en $X$ es explicada por $V$, lo cual representa una buena proporción de precisión en la medición.