Ejercicios

Un psicólogo escolar...

Un psicólogo escolar desarrolla un cuestionario de 70 ítems para medir la motivación de los alumnos a la hora de asistir a clase.

Le aplica el cuestionario a una muestra representativa de estudiantes de la ESO de 100 personas y encuentra una media en la prueba de 20 y una varianza de 10.

Además, obtiene que la correlación entre las dos partes del test es de 0.80.

Asumimos que las dos partes son dos formas paralelas del test completo.

1. ¿Cuál será la fiabilidad del test?

Localización del conocimiento

Este ejercicio se resuelve a partir de la fórmula de Spearman-Brown, que sirve para calcular la consistencia interna de un test dividido en dos mitades paralelas. La explicación se encuentra en Teoría Clásica de los Test > Fiabilidad > Procedimientos para calcular la fiabilidad > Consistencia interna > Medidas paralelas

Está pidiendo que calcule la fiabilidad de la prueba de motivación.

El enunciado dice que el test obtiene una correlación entre las dos partes del test es de 0.80. Eso significa que ha dividido el test en dos mitades paralelas para calcular la fiabilidad a partir de la consistencia interna.

Por lo tanto, utilizo la fórmula de Spearman-Brown:

$$\rho_k = \frac{k \cdot \rho_{XX^{\prime}}}{1 + (k - 1) \cdot \rho_{XX^{\prime}}}$$

donde:

• $k$ es el factor por el cual se multiplica la longitud del test original,
• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la correlación entre ambas mitades; que representa generalmente la fiabilidad inicial del test, y
• $\rho_k$ es la fiabilidad final tras añadir ítems.

Puesto que ha dividido el test en dos mitades, significa que conozco $k$, que es $2$. Por ello, puedo simplificar la fómula:

$$\rho_{k = 2} = \frac{2 \cdot \rho_{XX^{\prime}}}{1 + (2 - 1) \cdot \rho_{XX^{\prime}}} = \frac{2 \cdot \rho_{XX^{\prime}}}{1 + \rho_{XX^{\prime}}}$$

Puesto que el enunciado me da la correlación, puedo sustituir los valores:

$$\rho_{XX'} = \frac{2 \cdot 0.80}{1 + 0.80} = \frac{1.6}{1.8} = 0.89$$

Por lo tanto, la fiabilidad de la prueba completa es 0.89, que es una fiabilidad bastante buena.

2. ¿Cuál sería la varianza de las puntuaciones verdaderas a partir de una fiabilidad de 0.89?

Localización del conocimiento

Este ejercicio se resuelve a partir de las deducciones de la TCT. La explicación se encuentra en Teoría Clásica de los Test > Deducciones > ρ²XV representa la fiabilidad

Está pidiendo que calcule la varianza de las puntuaciones verdaderas a partir de la fiabilidad obtenida comparando las dos mitades del test.

El 1º supuesto de la TCT establece que la puntuación observada ($X$) se compone de la puntuación verdadera ($V$) más el error ($E$), es decir: $X = V + E$. En base a esto, la 3ª deducción de la TCT dice que la varianza hace lo mismo:

$$\sigma_X^2 = \sigma_V^2 + \sigma_E^2$$

A su vez, la 5ª deducción de la TCT establece que la correlación entre la varianza de $X$ y la varianza de $V$ representa fiabilidad del test ($\rho_{XX^{\prime}}$). Matemáticamente, esto se define como:

$$\rho_{XX'} = \frac{\sigma_V^2}{\sigma_X^2}$$

Reorganizando la ecuación anterior, sé que la varianza de las puntuaciones verdaderas es igual a la fiabilidad multiplicada por la varianza de las puntuaciones observadas:

$$\sigma_V^2 = \rho_{XX'} \cdot \sigma_X^2$$

El enunciado me dice que la varianza observada ($\sigma_X^2$) es 10 y que la fiabilidad del test ($\rho_{XX^{\prime}}$) es 0.89. Así que puedo reemplazar los valores en la fórmula:

$$\sigma_T^2 = 0.89 \cdot 10 = 8.9$$

Por lo tanto, varianza de las puntuaciones verdaderas es 8.9.

3. Sospecho que el valor de fiabilidad de 0.89 tiene restricción de rango y sé que la varianza en la población de referencia es 12. Calcula la fiabilidad si no hubiera restricción de rango en las puntuaciones del test.

Localización del conocimiento

Este ejercicio se resuelve a partir de la fórmula de ajuste con restricción de rango. La explicación se encuentra en Teoría Clásica de los Test > Fiabilidad > Factores que afectan a la fiabilidad > Estrategias de corrección > Ajustar con restricción de rango

Está pidiendo la fiabilidad sin restricción de rango. La fórmula de ajuste con restricción de rango es:

$$\rho_{kk'} = 1 - \frac{\sigma^2_j}{\sigma^2_k} (1 - \rho_{jj'})$$

El ejercicio proporciona los siguientes datos:

• $\rho_{jj{\prime}}$: fiabilidad observada en la muestra restringida, que es $0.89$.
• $\sigma_j$: desviación estándar en la muestra restringida, que es $12$.
• $\sigma_k$: desviación estándar en la población de referencia, que es $15$.

Aunque tengo las desviaciones estándar ($\sigma_j$ y $\sigma_k$), en la fórmula del ajuste me pide la varianza. Por lo tanto, los elevo al cuadrado:

$$\sigma^2_j = 12^2 = 144 \quad \text{y} \quad \sigma^2_k = 15^2 = 225$$

Sustituyendo los valores en la fórmula:

$$\rho_{kk'} = 1 - \frac{144}{225} (1 - 0.89) = 0.9296$$

La fiabilidad ajustada es de 0.9296 (92.96%). Es decir, que la fiabilidad del test aumenta en más de 3 puntos porcentuales al eliminar la restricción de rango en las puntuaciones.

4. ¿Cuántos serían los ítems que habría que añadir para que la proporción de varianza explicada por los errores fuera del 10%?

Localización del conocimiento

Este ejercicio se resuelve a partir de la fórmula de Spearman-Brown. La explicación se encuentra en Teoría Clásica de los Test > Fiabilidad > Factores que afectan a la fiabilidad > Estrategias de corrección > Modificar la cantidad de ítems

Está preguntando cuántos ítems son necesarios para reducir el error de la varianza al 10%.

Si la varianza explicada por el error es del 10%, la fiabilidad será del 90%. Es decir, la fiabilidad será 0.90. Esto se deriva de la relación entre fiabilidad y error que se desprende de la descomposición de la varianza en la 3ª deducción de la TCT: $\sigma^2_X = \sigma^2_V + \sigma^2_E$.

Para hacer el cálculo, utilizo la fórmula de Spearman-Brown, que sirve precisamente para calcular el número de ítems necesarios para alcanzar una fiabilidad deseada:

$$\rho_k = \frac{k \cdot \rho_{XX^{\prime}}}{1 + (k - 1) \cdot \rho_{XX^{\prime}}}$$

Sin embargo, lo que necesito encontrar es $k$, que es el factor multiplicador de ítems. Por lo tanto, despejo $k$ de la fórmula:

$$k = \frac{\rho_k (1 - \rho_{XX^{\prime}})}{\rho_{XX^{\prime}} (1 - \rho_k)}$$

Conozco los siguientes datos:

• $\rho_{k}$ es la fiabilidad deseada, que es $0.90$
• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la fiabilidad inicial, que es $0.89$

Sustituyendo los valores en la fórmula:

$$k = \frac{0.90 (1 - 0.89)}{0.89 (1 - 0.90)} = \frac{0.90 \cdot 0.11}{0.89 \cdot 0.10} = \frac{0.099}{0.089} \approx 1.11$$

Es decir, que el factor multiplicador $k$ es 1.11.

Si los ítems del test original son 70, entonces el número de ítems que tendría que tener el test para alcanzar una fiabilidad del 90% sería:

$$n{\prime} = n \cdot k = 70 \cdot 1.11 = 77.7$$

Por lo tanto, habría que añadir 7.7 ítems para que la proporción de varianza explicada por los errores fuera del 10%. Lógicamente, no se puede tener un número decimal de ítems, por lo que habría que añadir 8 ítems.

5. ¿Cuántos ítems habría que añadir al test para que el error típico de medida del test alargado valga 4 si la fiabilidad de partida es 0.89?

Localización del conocimiento

Este ejercicio se resuelve a partir de dos nociones:

• La fórmula del error estándar, que a su vez procede de las deducciones de la TCT. La explicación se encuentra en Teoría Clásica de los Test > Deducciones > Procedimientos para calcular la fiabilidad > Medidas paralelas > Error estándar
• La fórmula de Spearman-Brown. La explicación se encuentra en Teoría Clásica de los Test > Fiabilidad > Factores que afectan a la fiabilidad > Estrategias de corrección > Modificar la cantidad de ítems

La pregunta implica calcular cuántos ítems adicionales se necesitan para que el Error Estándar de Medida (EEM) de un test sea 4 con una fiabilidad de 0.89.

El Error Estándar de Medida (EEM) indica el grado de precisión del test en relación con la varianza del error.

No confundir con ESD

No hay que confundir el Error Estándar de Medida (EEM) con el Error Estándar de la Diferencia (ESD), que es una medida de la precisión de la diferencia entre dos puntuaciones. El ESD se utiliza en el cálculo del Indicador de Cambio Fiable (ICF).

El error estándar de medida (EEM) para el test ajustado debe cumplir:

$$\sigma_e = \sigma_X \cdot \sqrt{1 - \rho_k}$$

donde:

• $\sigma_e$ es el EEM deseado.
• $\sigma_X$ es la desviación estándar de las puntuaciones observadas del test actual.
• $\rho_k$ es la fiabilidad que alcanzará el test alargado con los ítems adicionales.

Sé que $\sigma_e$ es 4, porque lo dice el enunciado. Además, el enunciado me da la varianza de las puntuaciones ($\sigma^2_X$), que es 10. Puesto que la fórmula necesita la desviación estándar ($\sigma_X$), puedo hacer la raíz cuadrada: $\sigma_X = \sqrt{10} = 3.16$.

Ahora, reemplazo los valores en la fórmula:

$$4 = 3.16 \cdot \sqrt{1 - \rho_k}$$

Después trato de aislar $\rho_k$, que será la fiabilidad del nuevo test:

$$\frac{4}{3.16} = \sqrt{1 - \rho_k} \implies \left(\frac{4}{3.16}\right)^2 = 1 - \rho_k = 0.84$$

Es decir, que la fiabilidad del test alargado $\rho_k$ será de 0.84.

Ahora utilizo la fórmula de Spearman-Brown para calcular el número de ítems adicionales necesarios para alcanzar una fiabilidad de 0.84:

$$\rho_k = \frac{k \cdot \rho_{XX'}}{1 + (k - 1) \cdot \rho_{XX'}}$$

donde:

• $\rho_{XX^{\prime}}$ es la fiabilidad inicial (0.89).
• $\rho_k$ es la fiabilidad deseada (0.84).

Sustituyendo los valores:

$$0.84 = \frac{k \cdot 0.80}{1 + (k - 1) \cdot 0.80}$$

Trato de aislar $k$:

$$0.84 \cdot (1 + (k - 1) \cdot 0.80) = k \cdot 0.80 \implies k = 14.43$$

Es decir, que el factor de multiplicación $k$ es 14.43. Por lo tanto, el número de ítems necesarios es $70 \cdot 14.43 = 1005.1$. Como no se pueden tener ítems fraccionales, serían 1006 ítems.

Puesto que ahora hay 70 ítems, la cantidad de ítems adicionales sería $1006 - 70 = 936$. Es decir, habría que añadir 936 ítems al test original para que el error típico de medida del test alargado valga 4.