Covarianza entre ítems

La covarianza entre ítems se puede calcular mediante tres métodos:

• Alfa de Cronbach ($\alpha$) permite calcular la covarianza de ítems de cualquier tipo, incluyendo ítems de rendimiento típico.
• Kuder-Richardson ($KR_{20}$) permite calcular la covarianza con mayor precisión en ítems de rendimiento óptimo.
• Lambda de Guttman ($\lambda$) sirve para lo mismo que el alfa de Cronbach, pero es más preciso.
• Beta de Revelle ($\beta$) permite calcular la covarianza entre tests de distinta longitud. Es decir, cuando tienen diferente número de ítems.
• Análisis de la varianza (ANOVA)
• Omega de McDonald ($\omega$) permite calcular la covarianza entre ítems con pesos factoriales.

Calcula la consistencia interna del test a partir de las respuestas

Las respuestas a un test son las siguientes:

Sujeto	Ítem 1	Ítem 2	Ítem 3	Ítem 4	Total
1	1	1	1	1	4
2	0	1	1	0	2
3	0	1	1	0	2
4	1	1	0	0	2
5	1	0	1	1	3
6	1	1	0	1	3
7	1	0	0	1	2
8	1	0	0	1	2
9	0	0	0	0	0
10	1	1	1	0	3
$\sigma^2$	0.21	0.24	0.25	0.25	1.01

Utilizando Alpha de Cronbach

Para medir la consistencia interna, puedo utilizar la fórmula $\alpha$ de Cronbach:

$$\alpha = \frac{n}{n-1} \left( 1 - \frac{\sum_{j=1}^n \sigma^2_j}{\sigma^2_X} \right)$$

• Son 4 items, por lo que $n=4$.
• las varianzas de los ítems son:
  1. para el primer ítem, $\sigma^2_1 = 0.21$
  2. para el segundo ítem, $\sigma^2_2 = 0.24$
  3. para el primer ítem, $\sigma^2_3 = 0.25$
  4. para el cuarto ítem, $\sigma^2_4 = 0.25$

$$\alpha = \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{0.21 + 0.24 + 0.25 + 0.25}{1.01} \right) = 0.079$$

El valor $\alpha = 0.079$ está mucho más cerca de 0 que de 1, lo que demuestra que la consistencia interna entre los ítems es muy baja; y se podría deducir que la fiabilidad del test es muy, muy baja.

Utilizando Kuder-Richardson

Para medir la consistencia interna, especialmente si es un test de rendimiento óptimo, puedo utilizar la fórmula de Kuder-Richardson.

$$KR_{20} = \frac{n}{n-1} \left( 1 - \frac{\sum_{j=1}^n (p_j \cdot q_j)}{\sigma^2_X} \right)$$

En la tabla puedo ver que la varianza total $\sigma^2_X$ es $1.01$.

Ahora, necesito calcular los valores $p$ y $q$; los aciertos y los errores relativos, en cada uno de los ítems.

• en el 1º ítem:
  • $p_1 = 7 \div 10 = 0.7$
  • $q_1 = 3 \div 10 = 0.3$
• en el 2º ítem:
  • $p_2 = 6 \div 10 = 0.6$
  • $q_2 = 4 \div 10 = 0.4$
• en el 3º ítem:
  • $p_3 = 5 \div 10 = 0.5$
  • $q_3 = 5 \div 10 = 0.5$
• en el 4º ítem:
  • $p_4 = 5 \div 10 = 0.5$
  • $q_4 = 5 \div 10 = 0.5$

Finalmente, reemplazo los valores en la fórmula

$$KR_{20} = \frac{4}{3} \left( 1 - \frac{(0.7·0.3)+(0.6·0.4)+(0.5·0.5)+(0.5·0.5)}{1.01} \right) = 0,0793$$

Es decir, que la consistencia interna es muy, muy baja, puesto que $KR_{20} = 0,0793$ está mucho más cerca del 0 que del 1.

Calcula la consistencia interna a partir de la matriz de varianzas-covarianzas.

Dada la matriz de varianzas-covarianzas de los ítems de un test:

	Ítem 1	Ítem 2	Ítem 3
Ítem 1	4
Ítem 2	0.2	3
Ítem 3	0.4	0.3	4

Para calcular la consistencia interna, puedo utilizar la fórmula de $\alpha$ de Cronbach:

$$\alpha = \frac{n}{n-1} \left( 1 - \frac{\sum_{j=1}^n \sigma^2_j}{\sigma^2_X} \right)$$

Primero, necesito obtener todos valores de la fórmula de $\alpha$. Especialmente necesito la varianza total $\sigma^2_X$ y las varianzas de cada ítem.

La diagnonal principal muestra la varianza cada ítem:

• $\sigma^2_1 = 4$
• $\sigma^2_2 = 3$
• $\sigma^2_3 = 4$

Para calcular la varianza total ($\sigma^2_X$) debo sumar todas las varianzas:

$$\sigma^2_X = 4 + 3 + 4 + 2 (0.2 + 0.4 + 0.3) = 12.8$$

Ahora puedo reemplazar todos los valores:

$$\alpha = \frac{3}{2} \left( 1 - \frac{4 + 3 + 4}{12.8} \right) = 0.21$$

Es decir, que la consistencia interna del test es 0.21. Esto significa que el test no tiene una alta consistencia interna, y se podría decir que tiene una baja fiabilidad.

Calcula del alfa de Cronbach a partir de Lambda 1 de Guttman

Calcula el alfa de Cronbach para una prueba que tiene 10 ítems que tiene una Lambda 1 de Guttman de 0.70.

El enunciado me pide calcular el alfa de Cronbach a partir de la Lambda 1 de Guttman.

La fórmula de $\alpha$ es:

$$\alpha = \frac{n}{n-1} \left(1 - \frac{\sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2}{\sigma_X^2}\right)$$

A su vez, la fórmula de $\lambda_1$ es:

$$\lambda_1 = 1 - \frac{\sum_{j=1}^{n} \sigma_j^2}{\sigma_x^2}$$

Es decir, las fórmulas son prácticamente iguales, salgo por el hecho de que $\lambda_1$ no tiene el factor de corrección $\frac{n}{n-1}$. Es decir:

$$\alpha = \frac{n}{n-1} \cdot \lambda_1$$

Dado que en el enunciado se proporciona el valor de $\lambda_1 = 0.70$, y que el test tiene 10 ítems, podemos inferir que:

$$\alpha = \frac{10}{10-1} \cdot 0.70 = 0.7778$$

Por lo tanto, el valor de $\alpha$ es de 0.7778, lo que indica que el test tiene una consistencia interna bastante alta.

Calcula la consistencia interna de una batería de pruebas

Dada la siguiente batería de pruebas con los datos de ítems y varianzas:

Medida	Ítems	Varianza
Gf	35	16
Gc	40	17
CI	75	56

Puesto que la longitud de los test es desigual, para calcular la consistencia interna de la batería de pruebas utilizo la fórmula de Beta de Revelle ($\beta$):

$$\beta = \frac{\sigma^2_X - \sum_{j=1}^{p} \sigma^2_j}{\sigma^2_X \left(1 - \sum_{j=1}^{p} k_j^2 \right)}$$

El enunciado proporciona $\sigma^2_X$, la varianza total de la batería de pruebas (CI), que es $56$.

$$\beta = \frac{56 - \sum_{j=1}^{p} \sigma^2_j}{56 \left(1 - \sum_{j=1}^{p} k_j^2 \right)}$$

Primero, calculo $\sum_{j=1}^{p} \sigma^2_j$. Para ello, necesito las varianzas de cada prueba individual

• $\sigma^2_{Gf} = 16$
• $\sigma^2_{Gc} = 17$.

Por lo tanto:

$$\sum_{j=1}^{p} \sigma^2_j = 16 + 17 = 33$$

Diferecia entre proporciones ($k$) y cantidad ($n$)

En notación matemática, es importante distinguir entre proporciones y cantidades, ya que representan conceptos distintos y tienen implicaciones diferentes en los cálculos y en la interpretación de los resultados.

• Cantidades ($n$) se utiliza para representar el número total de elementos o la cantidad de ítems en un conjunto.
• Proporciones ($k$) se utiliza para representar la proporción de un subconjunto en relación a un total, y se calcula como la fracción o el porcentaje de elementos que un subconjunto representa en un conjunto mayor.

$$k = \frac{n_j}{N}$$

Donde:

• $n_j$ es la cantidad de elementos en el subconjunto $j$.
• $N$ es la cantidad total de elementos en el conjunto.

Después cálculo de $\sum_{j=1}^{p} k_j^2$. Para ello, necesito las longitudes de cada test.

• $k_{Gf} = 35 \div 75$
• $k_{Gc} = 40 \div 75$

Por lo tanto:

$$\sum_{j=1}^{p} k_j^2 = \left(\frac{35}{75}\right)^2 + \left(\frac{40}{75}\right)^2 = 0.5022$$

Ahora, puedo sustituir los valores en la fórmula de $\beta$:

$$\beta = \frac{56 - 33}{56 \left(1 - 0.502\right)} = 0.825$$

Es decir, que la consistencia interna de la batería de pruebas es $\beta = 0.825$, lo que indica una fiabilidad alta en esta batería de pruebas.

Calcula la consistencia interna de un test con pesos factoriales

Dados los siguientes pesos factoriales para cada ítem, calcula la consistencia interna.

Ítem	Peso factorial (λ)
1	0.541
2	0.437
3	0.347
4	0.294

Para calcular la consistencia interna de un test con pesos factoriales, utilizo la fórmula del coeficiente Omega ($\omega$):

$$\omega = \frac{\textcolor{royalblue}{\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \right)^2}}{\textcolor{goldenrod}{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2} + \textcolor{green}{\sum_{i=1}^{n} (1 - \textcolor{goldenrod}{\lambda_i^2})}}$$

Para ello, primero calculo la suma de los pesos factoriales de todos los ítems:

$$\textcolor{royalblue}{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i} = 0.541 + 0.437 + 0.347 + 0.294 = 1.619$$

Después elevo al cuadrado el resultado de la suma anterior:

$$\textcolor{royalblue}{\left( \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \right)^2} = (1.619)^2 = 2.622$$

Después calculo la suma de los cuadrados de los pesos factoriales individuales:

$$\textcolor{goldenrod}{\sum_{i=1}^{n} \lambda_i^2} = (0.541)^2 + (0.437)^2 + (0.347)^2 + (0.294)^2 = 0.690$$

Ahora calculo la suma de $1 - \lambda_i^2$ para cada ítem

$$\textcolor{green}{\sum_{i=1}^{n} (1 - \textcolor{goldenrod}{\lambda_i^2})} = (1 - 0.541^2) + (1 - 0.437^2) + (1 - 0.347^2) + (1 - 0.294^2)$$

Calculando esto:

• $1 - (0.541)^2 = 0.707$
• $1 - (0.437)^2 = 0.809$
• $1 - (0.347)^2 = 0.880$
• $1 - (0.294)^2 = 0.914$

$$\textcolor{green}{\sum_{i=1}^{n} (1 - \textcolor{goldenrod}{\lambda_i^2})} = 0.707 + 0.809 + 0.880 + 0.914 = 3.310$$

Finalmente, sustituyo los valores en la fórmula de Omega:

$$\omega = \frac{2.622}{0.690 + 3.310} = \frac{2.622}{4} = 0.655$$

El coeficiente Omega (ω) para esta prueba, basándose en los pesos factoriales dados, es aproximadamente 0.655, lo que indica una consistencia interna moderada.