Calcula la fiabilidad del test con 4 medidas paralelas

La siguiente tabla muestra los resultados de las cuatro medidas paralelas aplicadas a 20 sujetos. Para cada sujeto, se ha calculado:

• Puntuación verdadera ($V_i$), que ha sido estimada como el valor esperado $E(X)$, un valor teórico que representa el promedio de infinitas observaciones. En este caso, como solo hay 4 observaciones, el valor esperado se calcula como el promedio de las 4 puntuaciones.

  $$V = E(X) \approx \frac{1}{n} \sum X_i$$

• Varianza de error ($\sigma_E$): que es la diferencia entre la varianza observada y la verdadera, es decir, la varianza atribuible a errores de medición.

El promedio de las puntuaciones y las varianzas, tanto observadas ($\sigma^2_X$) como la verdadera ($\sigma^2_V$) y la varianza del error ($\sigma^2_E$), también se presentan en la parte inferior de la tabla.

🙋‍♂️	t1	t2	t3	t4	$V_i$	$\sigma_E$
1	28	22	22	22	23.50	6.75
2	19	30	30	30	27.25	22.6875
3	34	34	11	34	28.25	99.1875
4	5	5	5	8	5.75	1.16875
5	10	10	10	10	10.00	0
6	34	34	34	11	28.25	99.1875
7	30	19	19	30	27.25	22.6875
8	9	9	9	9	9.00	0
9	34	11	11	34	28.25	99.1875
10	5	5	5	5	5.00	0
11	22	28	22	22	23.50	6.75
12	30	30	30	30	30.00	0
13	19	30	30	30	27.25	22.6875
14	30	15	15	17	19.25	22.6875
15	16	17	17	17	16.75	0.6875
16	17	17	17	17	17.00	0
17	22	22	22	22	22.00	0
18	11	22	28	28	22.25	67.6875
19	22	22	22	22	22.00	0
20	8	5	5	5	5.75	1.6875
$\mu$	$\mu_{x}=19.5$	$\mu_{X^{\prime}}=19.5$	$\mu_{x^{\prime\prime}}=19.5$	$\mu_{x^{\prime\prime\prime}}=19.5$	$\mu_{v}=19.5$	$\sigma_E = 26.062$
$\sigma^2$	$\sigma^2_X = 105.75$	$\sigma^2_{X^{\prime}} = 105.75$	$\sigma^2_{X^{\prime\prime}} = 105.75$	$\sigma^2_{X^{\prime\prime\prime}} = 105.75$	$\sigma^2_V=79.687$

¿Cómo calculo $\sigma^2$?

La fórmula de la varianza es sencilla, pero un poco tediosa de calcular.

$$s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

Hay que calcular la diferencia entre cada valor y la media, elevarla al cuadrado y sumar todos los resultados. Luego, se divide entre el número de observaciones menos uno.

$$\sigma^2_X = \frac{(X_1 - \mu_X)^2 + (X_2 - \mu_X)^2 + \cdots + (X_n - \mu_X)^2}{n - 1}$$

Sustituyendo los valores específicos:

$$\sigma^2_X = \frac{(28 - 19.5)^2 + (19 - 19.5)^2 + (34 - 19.5)^2 + \cdots + (8 - 19.5)^2}{20 - 1} = 105.75$$

Por lo tanto, los valores relevantes son:

• Varianza observada ($\sigma^2_X$): 105.75.
• Varianza verdadera ($\sigma^2_V$): 79.697.
• Varianza del error ($\sigma^2_E$): 26.062.

El enunciado pide calcular la fiabilidad. La fiabilidad se expresa como la correlación entre las puntuaciones observadas y las verdaderas ($\rho^2_{XV}$). Se calcula como la proporción de la varianza verdadera respecto a la varianza observada:

$$\rho^2_{xv} = \frac{\sigma^2_V}{\sigma^2_X}$$

Sustituyendo los valores obtenidos:

$$\rho^2_{xv} = \frac{79.697}{105.75} = 0.75$$

$\rho^2_{xv} = \rho^2_{X^{\prime}v} = \rho^2_{x^{\prime \prime}v}$

Ahora que tengo $\rho^2_{xv}$, no necesito calcular $\rho^2$, para el resto de tests, ya que la fiabilidad es la misma para todos. Si son medidas paralelas, significa que los promedios, las medias, etc. son iguales en todos. Por lo tanto, la fiabilidad es la misma para todas las pruebas.

Este valor de 0.75 indica que el 75% de la variabilidad en las puntuaciones observadas se debe a diferencias reales en la capacidad o habilidad medida por el test, mientras que el 25% restante es atribuible al error de medición.

Este procedimiento me permite calcular la fiabilidad del test, es decir, la correlación entre las puntuaciones observadas y las puntuaciones verdaderas. Mediante la aplicación de medidas paralelas, puedo descomponer la varianza observada en sus componentes de varianza verdadera y de error. Esto permite calcular la fiabilidad del test, expresada como la proporción de la varianza verdadera respecto a la varianza total observada. En este caso, una correlación de 0.75 indica una fiabilidad razonable, pero con un 25% de error en las mediciones.