Calcula la fiabilidad al duplicar los ítems

Enunciado

Tenemos un test formado por 20 ítems con una fiabilidad de 0.6, una media de 10 y una desviación estándar $S_x$ de 2.

1. ¿Cuál será la fiabilidad si duplicamos la longitud del test?

Está preguntando por la fiabilidad. Por lo tanto, la fórmula que necesito es la fórmula de Spearman-Brown:

$$\rho_k = \frac{k \cdot \rho_{XX'}}{1 + (k - 1) \cdot \rho_{XX'}}$$

El enunciado me proporciona algunos datos:

• Fiabilidad inicial ($\rho_{XX^{\prime}}$) = 0.6
• Media ($\overline{X}$) = 10
• Desviación estándar ($s_X$) = 2

Y me dice también que duplico la longitud del test. Por lo tanto, el factor de aumento de la longitud ($k$) es $2$.

$$\rho_k = \frac{2 \cdot 0.6}{1 + (2 - 1) \cdot 0.6} = 0.75$$

Por lo tanto, la fiabilidad ($\rho_k$) de la prueba será $0.75$.

2. ¿Cuál sería la varianza de $X$ si duplicamos la longitud del test?

La varianza de las puntuaciones observadas $\sigma^2_{KX}$ se incrementa en función de $k$ y la fiabilidad inicial $\rho_{XX^{\prime}}$:

$$\sigma^2_{KX} = k \cdot \sigma^2_X + k(k - 1) \cdot \rho_{XX^{\prime}} \cdot \sigma^2_X$$

El enunciado me proporciona $s^2_X$, pero la fórmula requiere $s^2_X$. Por lo tanto, primero tengo que convertir $s_X$ en $s^2_X$:

$$\sigma^2_X = s_X^2 = 2^2 = 4$$

Ahora puedo reemplazar en la fórmula:

$$\sigma^2_{KX} = 2 \cdot 4 + 2(2 - 1) \cdot 0.6 \cdot 4 = 12.8$$

Es decir, la varianza de $X$ si duplicamos la longitud del test ($\sigma^2_{KX}$) será $12.8$.