Ejercicios

Calcula la unicidad y la comunalidad

Hemos realizado un Análisis factorial sobre la matriz de correlaciones de cuatro variables y hemos obtenidos los siguientes pesos factoriales en dos factores. ¿Cuáles serían las comunalidades y unicidades de cada variable?

Variable	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Esto se puede representar de la siguiente manera:

Solución

Para resolver este ejercicio, primero hay que calcular la comunalidad y después calcular la unicidad.

Comunalidad

Para cada una de las variables, hay que calcular la comunalidad utilizando la siguiente fórmula:

$$h_p^2 = \sum_{i=1}^k (a_{p i})^2.$$

En este caso, cada variable tiene cargas en 2 factores (E y V), así que:

$$h_p^2 = (a_{p,E})^2 + (a_{p,V})^2.$$

• Espacial 1: $0.90^2 + 0.22^2 = 0.81 + 0.0484 = 0.8584$
• Espacial 2: $0.89^2 + 0.34^2 = 0.7921 + 0.1156 = 0.9077$
• Verbal 1: $0.10^2 + 0.89^2 = 0.01 + 0.7921 = 0.8021$
• Verbal 2: $0.25^2 + 0.99^2 = 1.0426$

En la variable verbal 2 veo que la comunalidad supera 1. En análisis factorial, esto se conoce como un Caso Heywood, que normalmente indica que algo en el modelo está mal especificado (por ejemplo, demasiados factores, correlación entre errores que no se ha tenido en cuenta, muestra pequeña, etc.).

Unicidad

La unicidad es la fracción de la varianza de $X_p$ no explicada por los factores. Si las variables están estandarizadas (varianza total = 1), se cumple:

$$u_p^2 = 1 - h_p^2.$$

• Espacial 1: $1 - 0.8584 = 0.1416$
• Espacial 2: $1 - 0.9077 = 0.0923$
• Verbal 1: $1 - 0.8021 = 0.1979$
• Verbal 2: $1 - 1.0426 = -0.0426$

Calcula la correlación entre 2 variables

Hemos realizado un Análisis Factorial sobre la matriz de correlaciones de cuatro variables (dos espaciales y dos verbales) y obtenido los siguientes pesos factoriales en dos factores (E y V). ¿Cuál sería la correlación entre las dos variables espaciales y, por separado, la correlación entre las dos variables verbales?

Variable	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Solución

En análisis factorial clásico, la correlación ($\rho$) entre dos variables $X_p$ y $X_q$ (con cargas $a_{p,i}$ y $a_{q,i}$ sobre el factor $i$) se calcula como la suma de los productos de sus cargas en cada factor:

$$\rho(X_p,\,X_q) = \sum_{i=1}^{k} a_{p,i} \,\times\, a_{q,i}.$$

En este ejemplo, tenemos $k = 2$ factores (E y V).

Correlación entre Espacial 1 y Espacial 2

Las cargas para Espacial 1 son $a_{I,E} = 0.90,\;a_{I,V} = 0.22$.
Las cargas para Espacial 2 son $a_{II,E} = 0.89,\;a_{II,V} = 0.34$.

Aplicando la fórmula:

$$\rho(\text{Espacial 1},\, \text{Espacial 2}) = (0.90 \times 0.89) + (0.22 \times 0.34) = 0.8758$$

Variable	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Por tanto, la correlación entre las dos variables espaciales es aproximadamente 0.88.

Esto refleja que las dos variables espaciales están fuertemente relacionadas entre sí.

Correlación entre Verbal 1 y Verbal 2

Las cargas para Verbal 1 son $a_{I,E} = 0.10,\;a_{I,V} = 0.89$.
Las cargas para Verbal 2 son $a_{II,E} = 0.25,\; a_{II,V} = 0.99$.

Aplicando la misma fórmula:

$$\rho(\text{Verbal 1},\, \text{Verbal 2}) = (0.10 \times 0.25) + (0.89 \times 0.99) = 0.9061$$

Variable	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

La correlación entre las dos variables verbales es, por tanto, aproximadamente 0.91.

Esto refleja que las dos variables espaciales están fuertemente relacionadas entre sí.

Calcula la correlación entre 3 variables

Se ha realizado un Análisis Factorial sobre la matriz de correlaciones de nueve variables (E1, E2, E3, V1, V2, V3, N1, N2, N3), obteniendo tres factores (F-E, F-V y F-N). La siguiente tabla muestra las cargas factoriales resultantes. ¿Cuál sería la correlación entre E1 y E2? ¿Y entre E3 y V1?

Variable	F-E	F-V	F-N
E1	0.71	0.05	0.03
E2	0.83	0.04	0.14
E3	0.79	0.12	0.09
V1	0.04	0.75	0.14
V2	0.09	0.76	0.21
V3	0.07	0.81	0.11
N1	0.11	0.12	0.89
N2	0.17	0.14	0.90
N3	0.09	0.19	0.76

Solución

En el análisis factorial clásico, la correlación $\rho(X_p, X_q)$ entre dos variables $X_p$ y $X_q$ se calcula como la suma de los productos de sus cargas factoriales en cada factor:

$$\rho(X_p,\,X_q) = \sum_{i=1}^{k} \; a_{p,i} \,\times\, a_{q,i}.$$

En este ejemplo, tenemos k = 3 factores:

• F-E (Factor Espacial)
• F-V (Factor Verbal)
• F-N (Factor Numérico)

Correlación entre E1 y E2

• E1: cargas $(0.71,\, 0.05,\, 0.03)$ en (F-E, F-V, F-N)
• E2: cargas $(0.83,\, 0.04,\, 0.14)$

Aplicando la fórmula:

$$\rho(E1,\,E2) = (0.71 \times 0.83) + (0.05 \times 0.04) + (0.03 \times 0.14) = 0.5955$$

Variable	F-E	F-V	F-N
E1	0.71	0.05	0.03
E2	0.83	0.04	0.14
E3	0.79	0.12	0.09
V1	0.04	0.75	0.14
V2	0.09	0.76	0.21
V3	0.07	0.81	0.11
N1	0.11	0.12	0.89
N2	0.17	0.14	0.90
N3	0.09	0.19	0.76

Por tanto, la correlación entre E1 y E2 es de aproximadamente 0.60. Por lo tanto, E1 y E2 están moderadamente correlacionadas

Correlación entre E3 y V1

• E3: cargas $(0.79,\, 0.12,\, 0.09)$
• V1: cargas $(0.04,\, 0.75,\, 0.14)$

$$\rho(E3,\,V1) = (0.79 \times 0.04) + (0.12 \times 0.75) + (0.09 \times 0.14) = 0.1342$$

Por tanto, la correlación entre E3 y V1 es de aproximadamente 0.13. Es decir, la relación es bastante más baja, lo que sugiere que E1 y E2 comparten más varianza por su factor común (F-E) que E3 y V1.

Proporción de varianza explicada por cada factor

Hemos realizado un Análisis Factorial sobre la matriz de correlaciones de cuatro variables (dos espaciales y dos verbales) y obtenido los siguientes pesos factoriales en dos factores (E y V). ¿Cuál sería la proporción de varianza explicada por cada factor?”

Variable	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Solución

Primero, cálculo de los autovalores. Un autovalor $\lambda_k$ de un factor $k$ se obtiene sumando los cuadrados de las cargas factoriales de todas las variables en ese factor. Luego, si tenemos $p$ variables estandarizadas, la proporción de varianza explicada es $\lambda_k \div p$.

Primero calculo el autovalor del Factor E:

$$\lambda_E = 0.90^2 + 0.89^2 + 0.10^2 + 0.25^2 = 1.6746$$

Después calculo el autovalor del Factor V:

$$\lambda_V = 0.22^2 + 0.34^2 + 0.89^2 + 0.99^2 = 1.9362$$

Ahora, puedo calcular la proporción de varianza explicada. Dado que hay $p = 4$ variables, cada autovalor se divide entre 4 para obtener la proporción (multiplicada luego por 100 para el porcentaje):

• Factor E $$\frac{\lambda_E}{4} = \frac{1.6746}{4} \approx 0.41865 \;\to\; 41.86\%.$$
• Factor V $$\frac{\lambda_V}{4} = \frac{1.9362}{4} \approx 0.48405 \;\to\; 48.41\%.$$

Sumando, ambos factores explican alrededor de:

$$41.86\% + 48.41\% \;\approx\; 90.27\%.$$

Es decir:

• El Factor E explica cerca del 42% de la varianza total (en cuatro variables estandarizadas).
• El Factor V explica alrededor del 48%.
• Entre los dos factores, se cubre aproximadamente 90% de la varianza, dejando un 10% no explicado, que podría atribuirse a unicidades o algún otro factor residual.

De este modo, Factor V es ligeramente más potente que Factor E en términos de varianza explicada, aunque ambos muestran una contribución sustancial a explicar los datos.

Significancia de pesos estadísticos

Hemos realizado un Análisis Factorial Exploratorio (AFE) sobre la matriz de correlaciones de cuatro variables y hemos obtenido los siguientes pesos factoriales en dos factores con una muestra de 100 personas.

Se pide determinar qué pesos factoriales son estadísticamente significativos con un nivel de significancia de $\alpha = 0.05$.

Variables	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Solución

Un peso factorial es estadísticamente significativo si cumple con la siguiente condición:

$$|\rho_{xy}| \geq Z_{\alpha/2} \frac{1}{\sqrt{N - 1}}$$

Sustituyendo los valores en la fórmula:

$$\frac{1}{\sqrt{100 - 1}} = \frac{1}{\sqrt{99}} \approx \frac{1}{9.95} \approx 0.1005$$

Multiplicamos por $Z_{0.025} = 1.96$:

$$1.96 \times 0.1005 = 0.197$$

Por lo tanto, un peso factorial será estadísticamente significativo si:

$$|\rho_{xy}| \geq 0.197$$

Ahora verifico cada peso factorial en la tabla:

Variables	Factor E	Factor V
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Como se puede ver, los pesos factoriales significativos ($\≥0.197$) son:

• Espacial 1 en Factor E (0.90)
• Espacial 2 en Factor E (0.89)
• Verbal 1 en Factor V (0.89)
• Verbal 2 en Factor E (0.25)
• Verbal 2 en Factor V (0.99)

Por el contrario, los pesos factoriales NO significativos ($\<0.197$) son:

• Verbal 1 en Factor E (0.10)

Es decir, todos los pesos factoriales, salvo uno de ellos, son significativos.

Cálculo de puntuaciones factoriales

Hemos realizado un Análisis Factorial Exploratorio (AFE) y obtenido los siguientes pesos factoriales en dos factores.

Variables	Factor E ($F_E$)	Factor V ($F_V$)
Espacial 1	0.90	0.22
Espacial 2	0.89	0.34
Verbal 1	0.10	0.89
Verbal 2	0.25	0.99

Se pide calcular la puntuación factorial pronosticada para una persona con las siguientes puntuaciones en las variables:

• Espacial 1 = 2
• Espacial 2 = 3
• Verbal 1 = 1
• Verbal 2 = 5

La puntuación factorial en cada factor se calcula como una combinación lineal de las puntuaciones individuales ($X_p$) ponderadas por sus pesos factoriales ($a_{pi}$):

$$F_k = \sum_{i=1}^{p} X_i \cdot a_{ik}$$

Donde:

• $F_k$ es la puntuación factorial en el factor $k$.
• $X_i$ es la puntuación de la persona en la variable $i$.
• $a_{ik}$ es la carga factorial de la variable $i$ en el factor $k$.
• $p$ es el número de variables (en este caso, 4).

Ahora, puedo sustituir valores para cada factor:

• Factor E: $(2 \times 0.90) + (3 \times 0.89) + (1 \times 0.10) + (5 \times 0.25) = 5.82$
• Factor V: $(2 \times 0.22) + (3 \times 0.34) + (1 \times 0.89) + (5 \times 0.99) = 7.30$

El Factor V tiene una puntuación más alta, lo que sugiere que este individuo está más influenciado por el Factor V que por el Factor E.