Propiedades

Descripción matemática de las propiedades de los índices

La media, la varianza y las demás métricas tienen ciertas propiedades, que se pueden expresar de forma matemática. Las propiedades son, por ejemplo, producto de una constante o combinación lineal. Utilizando esas propiedades, deberías ser capaz de despejar incógitas y deducir valores.

Enunciado

Dada la siguiente variable

$$X_i: 4, 4, 4, 7, 2, 5, 2, 0$$

1. Calcula el valor que debería tener la media de una variable $Y$, si la calculáramos multiplicando a todos los valores de $X$ por 3.
2. Calcular el valor de la varianza de una variable $Y$ si multiplicamos por 5 a la varianza de $X$ y le sumamos 4.
3. Calcular el valor de una constante que permitiera que una variable $Y$ tuviera una desviación típica de 1 en relación a $X$.
4. Si multiplicamos a $X$ por una constante $b$ y le sumamos otra constante $a$, obtenemos una variable $Y$ que tiene una media de 3. Si multiplicamos a la constate $b$ por la desviación típica de $X$ obtenemos una desviación típica en $Y$ de 2. Calcular lo que valen las constantes $a$ y $b$.

Respuestas

1. Media de una variable resultante de multiplicar X por 3

En los apuntes vemos que una de las propiedades de la media es Producto por una constante. Significa que, si todos los valores de la variable $X_i$ se multiplican por una constante $k$, la media se multiplica por esa constante. Es decir:

$$\bar{y} = \bar{x} \cdot k$$

Por eso, primero tenemos que calcular la media de $X$, que es:

$$\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \implies \frac{4 +4 +4 +7 +2+ 5+ 2+ 0}{8} = 3.5$$

Ahora que se esto, puedo aplicar la formula anterior:

En este caso: $\bar{y} = 3.5 \cdot 3 = 10.5$

Es decir, que la media de la variable $Y$ ($\bar{y}$) es 10,5.

2. Varianza de una variable resultante de producto y suma

El enunciado nos pide calcular el valor de la varianza de una variable $Y$.

Se que la varianza de $Y$ es el resultado de multiplicar por 5 y sumar 4 a la varianza de $X$. Es decir $s_y^2 = s_x^2 \cdot 5 + 4$.

El único componente de la ecuación que nos falta es la varianza de X ($s_x^2$). La formula de la varianza es: $\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$. Como ya tenemos la media de X ($\bar{x}=3.5$), puedo calcular:

$s_x^2 = \frac{(4-3.5)^2+(4-3.5)^2+(4-3.5)^2+(7-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(2-3.5)^2+(0-3.5)^2}{8-1} = 4.5714$

Por lo tanto, $s_y^2 = 4.5714 \cdot 5 + 4 = 26.857$.

Es decir, que la varianza de Y ($s_y^2$) es 26,857.

Combinación lineal

Lo que hace que esto tenga sentido es que una de las propiedades de la varianza es la Combinación lineal. Significa que si a todos los valores de la variable $X_i$ se les suma un número $a$ y se multiplican los valores por un número $b$, es necesario multiplicar también la varianza por $b^2$ y sumar $a^2$.

Es decir, si $\bar{y} = a + \bar{x} \cdot b$, entonces $s_y^2 = s_x^2 \cdot b^2$.

3. Calcular el valor de una constante que permitiera que una variable $Y$ tuviera una desviación típica de 1 en relación a $X$

El enunciado nos pide econtrar una constante $k$.

Pero la condición es que esta constante debe permitir que si multiplicamos todos los valores de $X$ por ella, crea una variable $Y$ cuya desviación típica ($s_y$) es 1.

Para ello, nos fijamos en la expresión de la propiedad de la desviación típica llamada producto de una constance, que estipula que si a todos los valores de la desviación estándar $x_i$ les multiplica una constante $k$, es necesario multiplicar también la desviación estándar por el mismo valor $k$ al cuadrado, para que se mantenga igual.

Es decir, $s_y = s_x \cdot k$

Por lo tanto, dado que $s_y$ debe ser 1, se que la fórmula sería $1 = s_x \cdot k$.

El único componente de la ecuación que nos falta (además de $k$) es la desviación típica de X ($s_x$). La formula de la varianza es: $\sqrt{\frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}}$. Como ya tenemos la media de X ($\bar{x}=3.5$), puedo calcular:

$s_x = \sqrt{\frac{(4-3.5)^2+(4-3.5)^2+(4-3.5)^2+(7-3.5)^2+(2-3.5)^2+(5-3.5)^2+(2-3.5)^2+(0-3.5)^2}{8-1}} = 2.1381$

Es decir, volviendo a la fórmula de la expresión de la propiedad:

$$1 = 4.5714 \cdot k \implies k = \frac{1}{2.1381} = 0.2188$$

Por lo tanto, la constante $k$ que cumple el requisito es 0.4677.

4. Cálculo de dos incógnitas dadas la media y la desviación estándar de la variable resultante de multiplicación y Suma

Según parece al leer el enunciado, como resultado de hacerle cosas a $X$, se nos queda una variable $Y$. Concretamente:

• Si multiplicamos $X$ por $b$ y sumamos $a$, la variable $Y$ tiene una media ($\bar{y}$) de 3.
• Si multiplicamos la desviación típica de X ($s_x$) por por $b$, la variable $Y$ tiene una desviación típica ($s_y$) de 2.

Empecemos con la media. La expresión matemática de la propiedad combinación lineal de la media es:

$$\bar{y} = a + \bar{x} \cdot b$$

Ya se que la media de X ($\bar{x}$) es 3.5, y nos acaban de decir que la media de Y ($\bar{y}$) será 3. Por lo tanto:

$$\bar{y} = a + \bar{x} \cdot b \implies 3 = a + 3.5 \cdot b$$

Según parece, aún no puedo resolver esto porque nos faltan dos incógnitas.

Ahora vamos con la desviación típica. La expresión matemática de la propiedad producto de una constance es:

$$s_y = s_x \cdot k$$

Ya se, por un ejercicio anterior, que la desviación típica de X ($s_x$) es 2.1381. Y nos acaban de decir en el ejercicio que la desviación típica de Y ($s_y$) será 2. Por lo tanto:

$$s_y = s_x \cdot k \implies 2 = 2.1381 \cdot b$$

Este sí lo puedo resolver, porque sólo nos falta la incógniba $b$:

$$2 = 2.1381 \cdot b \implies \frac{2}{2.1381} = b = 0.9354$$

Es decir, que el valor de $b$ es 0,9354.

Ahora vamos a por $a$, usando la formula anterior:

$$\bar{y} = a + \bar{x} \cdot b \implies 3 = a + 3.2739 \implies a = 3 - 3.2739 = -0.2739$$

Por lo tanto, el valor de $a$ es -0,2739.

La desviación típica de una variable X toma un valor de 3. ¿Cuál sería la desviación típica de otra variable Y relacionada con X de tal modo que a X le sumamos 1 y le multiplicamos 5?

$$\bar{y} = a + \bar{x} \cdot b$$

$s_x = 3$

$s_y = ?$